Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 1. События. Основные операции над событиями Лекция 1

Задача 1-Т1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Введем события: А = {выбранное число делится на 5}, В = {выбранное число оканчивается нулем}. Выяснить смысл событий

а) ;

б) .

Задача 2-Т1. Какие из следующих пар событий являются несовместными? совместными?

а) А1 = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной} и А2 = {на кухне}?

б) А3 = {попадание при одном выстреле}, А4 = {промах};

в) А5 = {выпадение герба при подбрасывании монеты}, А6 = {выпадение решки};

г) А7 = {хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, А8 = {два попадания}.

Задача 3-Т1 для самостоятельного решения. Из четырех карточек с номерами 1, 2, 3, 4 последовательно наудачу берут две. Составить пространство элементарных событий для этого опыта, если его элементами служат:

а) двузначные числа, образованные этими карточками?

б) суммы номеров, изображенных на извлеченных карточка?

Задача 4-Т1. Доказать формулу А + В = А + ·В, где А и В – случайные события.

Задача 5-Т1. В лаборатории работают несколько человек, причем каждый из работников знает хотя бы один иностранный язык. Так,

- английский знают 6 человек,

- немецкий – 6 человек,

- французский – 7 человек,

- английский и немецкий – 4 человека,

- немецкий и французский – 3 человека,

- английский и французский – 2 человека,

- все три языка знает один человек.

Сколько человек работает в лаборатории? Сколько сотрудников знают только английский язык?

Семинар 1

Задача 1С-Т1. Два шахматиста играют одну партию. Вводятся события: А = {выигрывает первый игрок}, B = {выигрывает второй игрок}. Описать события:

а) ;

б) \;

в) .

Задача 2С-Т1. Упростить выражение (А + В) ·(А +) ·(Ᾱ+В).

Задача 3С-Т1. Упростить выражения:

а) А·(В – А·В);

б) А·+ А··С + В·С + В;

в) А + Ᾱ·В + («не (А + В)»).

Задача 4С-Т1. Доказать справедливость законов де Моргана:

а) ;

б) .

Задача 5С-Т1. Упростить выражения, если известно, что А В:

а) А·В;

б) А + В;

с) А + В + С.

Задача 6С-Т1. Установите, какие из соотношений правильны:

а) Ᾱ + =;

б) ;

в) (А + В) – С = А + (В – С).

Задача 7С-Т1. Совместны ли события А и ?

Задача 8С-Т1. Справедливы ли, а если «Да», то в каком случае равенства:

а) А·В = Ᾱ?

б) А + В = Ᾱ?

Задача 9С-Т1. Назвать противоположные события для следующих событий:

а) А = {выигрыш первого игрока в шахматной партии};

б) В = {произошло хотя бы одно попадание при десяти выстрелах};

в) С = {произошло три попадания при трех выстрелах};

г) D = {произошло не более двух попаданий при пяти выстрелах};

д) Е = {в семейной паре муж старше жены}.

Задача 10С-Т1. Известно, что события А₁ и А₂ произошли, а событие А₃ не произошло. Произошли ли события:

а) ?

б) А₁ + А₂ ·А₃?

в) А₁ ·А₂ ·А₃?

Задача 11С-Т1. Каков смысл равенств:

а) А·В·С = А?

б) А + В + С = А?

Задача 12С-Т1. При каком условии справедливо равенство (А + В) – В = А – В?.

Задача 13С-Т1. Студент пришел на зачет, зная 15 вопросов из 20. Если студент не может ответить на вопрос, ему предоставляется еще одна (не более!) попытка. Каково пространство исходов?

Запишите событие А = {студент сдал зачет} через возможные исходы испытания.

Какова вероятность сдать зачет?