Тема 9. Формула Байеса (формула гипотез, формула апостериорной вероятности). – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

Если событие А может произойти одновременно с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n, называемых гипотезами, представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то вероятность события определяется поформуле полной вероятности:

=

Или в краткой записи:

.

Здесь Р(Н_i) — вероятность -ой гипотезы, а P(A|H_i) - условная вероятность события при осуществлении данной гипотезыН_i.

Если известно, что в результате опыта событие произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности тех гипотез, при которых событиепроисходит с большей вероятностью, и уменьшаются вероятности остальных. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется так называемаятеорема гипотез, или формула Байеса:

(В знаменателе дроби в правой части равенства стоит полная вероятность события ).

Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 9

Задача 0-Т9. Предположим, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, определить вероятность того, что этот человек

а) мужчина; б) женщина.

Задача 1–Т9. Предположим, что в двух корзинах содержится соответственно 3 белых и 7 черных и 7 белых и 3 черных шара. Наугад выбирают корзину и из нее наугад вынимают шар. Этот шар оказывается белым. Какова вероятность того, что выбрана корзина с большим числом белых шаров?

Задача 2-Т9 (самостоятельно). Имеется три одинаковых по внешнему виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором – 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вытаскивается белый шар. Вычислить вероятность того, что белый шар взят из первого ящика.

Задача 3–Т9. На экзамене студентам предлагается 20 билетов, 5 из которых – легкие, а 15 - трудные. Два студента по очереди тянут билеты – сначала первый студент, затем – второй.

а) Какова вероятность вытянуть легкий билет для первого студента?

б) Чему равна вероятность вытянуть легкий билет для второго студента?

в) Известно, что второй студент вытащил легкий билет. Чему равна вероятность того, что и первый студент вытащил легкий билет?

Задача 4-Т9. Пациент проходит медицинское обследование. Врач знает, что применяемый им тест надежен на 99%, т.е. для 99% больных людей положителен (даст правильный ответ о том, что человек болен), а для 99% здоровых – отрицателен (т.е. для здорового человека он даст отрицательный ответ). Врач знает также, что доля больных, имеющих это заболевание, составляет всего 1% населения. Какова вероятность, что пришедший на прием человек страдает этим заболеванием, если результат проведенного теста у него положителен?

Задача 5–Т9 (самостоятельно). Партия микросхем, среди которых 10% неисправных, поступила на проверку. Используется упрощенный тест проверки, по которому с вероятностью 0,95 дефектная схема признаётся дефектной, и с вероятностью 0,3 исправная микросхема признается дефектной. Наудачу выбранная микросхема протестирована и признана дефектной. Какова вероятность того, что на самом деле микросхема является исправной?

Задача 6–Т9. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,5; для второго – 0,7 и для третьего – 0,9. После стрельбы в мишени обнаружена только одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит третьему стрелку.

Задача 7–Т9. Фирма планирует выпуск на рынок нового вида товара. Субъективные представления руководства фирмы таковы: вероятность хорошего спроса на этот товар составляет 0,7, вероятность плохого спроса – 0,3. Было проведено специальное исследование товарного рынка, которое предсказало плохой сбыт. Однако известно, что исследования такого рода дают правильный прогноз не всегда, а лишь с вероятностью 0,8.

а) Каким образом маркетинговое исследование повлияло на вероятности хорошего и плохого сбыта?

б) (самостоятельно). Как изменятся вероятности хорошего и плохого сбыта, если бы исследование рынка предсказало бы хороший сбыт?

Задача 8-Т9. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 студента подготовлены отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно и один – плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16 вопросов, удовлетворительно подготовленный – на 10, а плохо подготовленный студент может ответить только на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три заданных преподавателем вопроса. Найти вероятность того, что:

а) студент подготовлен отлично;

б) студент подготовлен плохо.

Задача 9-Т9. Клеточная активность мозга регистрируется микроэлектродом. С вероятностью 0,6 предполагается, что в опыте наблюдается первая из двух соседних структур мозга (т.е. в неё попал при установке микроэлектрод). Известно, что в первой структуре мозга некоторый тип активности индуцируют 60% клеток, а во второй, соседней с ним, - 50%. Микроэлектрод зарегистрировал в фиксированный момент времени данный тип активности. Как в связи с этим изменится мнение о нахождении микроэлектрода в первой структуре мозга?

Задача 10-Т9. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности поражения цели первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны р₁ = 0,4; р₂ = 0,3 и р₃ = 0,5.