Тема 6. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие

Если известны или легко определяются и, то можно вычислить вероятности «сложных» событийА+В, А·В.

Вероятность события при известной вероятности событияА, поскольку события А и его противоположность образуют полную группу событий, а их пересечением является пустое множество, т.е., вычисляется по определению вероятности. Выразив, получим:

Р() = 1 –Р(А).

Если эти события А и В являются совместными, то для вычисления следует воспользоваться следующей Теоремой.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности произведения этих событий:

.

Достаточно часто слагаемое в формуле вероятности суммы событий или легко вычисляется или оказывается равным нулю.

Если события А и В не могут произойти в результате одного испытания одновременно, т.е. иными словами, если А·В = Ø, тогда, по определению, А·В – невозможное событие, события А и В являются несовместимыми или несовместными, и тогда . Таким образом, для несовместимых событийА и В формула вероятности суммы этих событий приобретает особенно простой вид:

Будут верными для независимых событий и следующие формулы вычисления вероятностей:

Аналогичные формулы верны и для большего числа независимых событий.

Например, для независимых событий А, В и С будет справедлива формула:

Независимость событий

В психологии вопрос о зависимости/независимости различных характеристик исследуемого процесса возникает очень часто. На практике о независимости тех или иных событий судят, исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта. Как правило, считают независимыми события, между которыми нет причинно-следственных связей.

Для определения зависимости/независимости можно воспользоваться следующим определением.

Определение. События А и В называются (являются) независимыми, если выполняется равенство:

Тема 6. Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 6 Лекция 6

Задача 1-Т6. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,6. Какова вероятность того, что он, выстрелив по мишени, промахнется?

Задача 2–Т6. В роте из 100 солдат двое имеют высшее образование. Какова вероятность того, что в случайном образом сформированном взводе из 30 солдат будет хотя бы один человек с высшим образованием?

Задача 3-Т6. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одному разу в мишень. Вероятность попадания в цель первого стрелка составляет 0,8, а второго – 0,7. Какова вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы одним стрелком?

Задача 4-Т6. Наудачу один раз бросается игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет 3 очка или 5 очков.

Задача 5–Т6. Бросается игральная кость. Пусть А = {появление четного числа очков}, В = {появление более трех очков}. Зависимы или нет события А и В?

Задача 6-Т6. В изготовленной партии детских мячей вероятность появления бракованного мяча равна 0,004. В красный цвет окрашены всех мячей, а остальные – в синий. Какова вероятность того, что наугад вынутый мяч будет небракованным и красным?

Задача 7–Т6 (самостоятельно). У взрослого пациента вероятность того, что все зубы сохранены, составляет 0,67. Найти вероятность того, что два, не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приема у кабинета хирургической стоматологии, имеют сохраненными все зубы.

Задача 8-Т6 (самостоятельно). Велогонщик теряет всякую надежду на успех в гонке, если у него случится прокол шины. Вероятность прокола шины на трассе гонки составляет 0,01. Найти вероятность того, что гонщик сойдет с трассы.

Задача 9-Т6. Производится наудачу выбор флага из 4-х имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-бело-голубого). Исследовать на независимость события:

К = {флаг имеет красный цвет},

Г = {флаг имеет голубой цвет},

Б = {флаг имеет белый цвет}.

Задача 10-Т6 (дополнительно). Известно, что в среднем 5% изделий некоторой фирмы бракованные. Взяли наугад для проверки два изделия этой фирмы. Какова вероятность того, что ровно одно изделие из этих двух будет забраковано?

Задача 11–Т6. Из полного набора костяшек домино дважды наудачу вынимают по одной костяшке, не возвращая их в игру. Найти вероятность появления дубля при втором испытании, если в первый раз был извлечен не дубль.