Тема 8. Формула полной вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
Одним из эффективных способов подсчета вероятностей является формула общей вероятности, являющаяся следствием формул вероятностей суммы и произведения событий.
Предположим, что событие A может наступить лишь при появлении одного из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn. По отношению к событию А будем называть их гипотезами.
Пусть H1, H2, ..., Hn образуют полную группу.
Тогда
появление события А
связано с обязательным наступлением
ровно одного из событий А
…,
,
и событиеА
можно представить в виде:
.
Поскольку вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий-слагаемых, то
.
Формула
условной вероятности
в этом случае для любогоi
=
будет выглядеть следующим образом:
.
Тогда переписываем последнее равенство в виде:
Таким образом, вероятность события A определяется как сумма произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A.
Это и есть формула полной вероятности, которую можно использовать при подсчете вероятностей конкретных событий.
Тема 8. Задачи, рассмотренные на Лекции 8
Задача 1-Т8. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% женщин страдают дальтонизмом. Для простоты будем считать, что мужчин и женщин в популяции одинаковое количество. Какова вероятность того, что выбранный наугад человек страдает дальтонизмом?
Задача 2–Т8. В вопросах для подготовки к зачету имеется 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из списка вопросов для подготовки два вопроса и задает студенту. Определить вероятность того, что среди вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.
Задача 3–Т8. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой — 5 белых и 3 черных, во второй — 2 белых и 6 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Задача 4–Т8. В каждой из двух урн находится 9 белых и 14 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наудачу один шар. Найти вероятность того, что шар, вынутый из второй урны, окажется чёрным.
Задача 5-Т8. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на первом заводе, 15% телевизоров изготовлены на втором заводе, а остальные – на третьем заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют гарантийного ремонта, равны 0,96; 0,84 и 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.
Задача 6-Т8. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом I, 30% — заводом II, 50% — заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованной детали равна 0,05, для завода II — 0,01, для завода III — 0,06. Чему равна вероятность, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?
Задача 7-Т8. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий товара, поступивших на склад, с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятность того, что лампы, принадлежащие к каждой из трех партий, проработают установленное ГОСТом число часов, составляют соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить, что наугад взятая лампа проработает заданное число часов.
Задача 8-Т8. По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле составляет 0,40, при втором – 0,50, а при третьем выстреле – 0,70. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,20, при двух попаданиях – с вероятностью 0,60, а при трех попаданиях – 1,0. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.
Задача 9-Т8. В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий. Производительности этих линий относятся как 5 : 3 : 2. Вероятность брака для первой линии составляет 0,01; для второй линии – 0,02; для третьей линии – 0,03. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь бракована.
Задача 10-Т8 (самостоятельно). На уничтожение цели противника вылетело два самолета разных типов. Самолет первого типа может уничтожить цель с вероятностью 0,9, а самолет второго типа – с вероятностью 0,8. Однако противовоздушная оборона противника может сбить самолет первого типа с вероятностью 0,95, а самолет второго типа – с вероятностью 0,85. Какова вероятность уничтожения цели?
Задача 11-Т8 (дополнительно). Имеются три урны. В первой урне 3 белых и 2 черных шара. Во второй урне 2 белых и 3 черных шара, а в третьей – 4 белых и 2 черных шара. В первую урну из второй урны перекладывают два шара, а из третьей урны – 3 шара. Шары первой урны перемешивают и берут из нее 2 шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.