Вариация массовых явлений. «Меры рассеяния»

4. Размах (интервал изменения)

Размах – это разность между максимальным и минимальным значением переменой в наборе данных. Размах обозначается R.

Размах R является самым простым показателем, который можно получить для выборки:

.

Понятно, что чем сильнее варьирует признак, тем больше и наоборот.

5. Математическое ожидание

Одной из основных числовых характеристик является математическое ожидание (или взвешенное среднее значение).

Определение. Математическое ожидание (оно обозначается МХ или М(Х)) представляет собой среднее ожидаемое значение рассматриваемой случайной величины в больших сериях испытаний с учетом вероятностей принимаемых значений и вычисляемое по формуле:

МХ =М(Х) = ,

которая в сокращенной записи выглядит следующим образом:

Или, другими словами: Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

В серии из большого количества испытаний среднее арифметическое полученных в этой серии значений СВ будет приближаться к ее математическому ожиданию. Этот факт имеет два важных следствия.

Следствие 1. Математическое ожидание СВ, распределение которой нам неизвестно, можно оценить средним арифметическим значений в достаточно большой серии ее последовательных испытаний. Более того, чем длиннее серия, тем точнее оценка.

Следствие 2. В практически интересных случаях серий испытаний можно оценивать наиболее вероятный результат, исходя из математического ожидания некоторой СВ.

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:

М(С) = С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С·М(Х).

3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n).

4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n).

6. Дисперсия и среднеквадратическое (стандартное) отклонение

Характеристикой, показывающей масштаб отклонения случайной величины от математического ожидания, является дисперсия, она обозначается буквой D - математическое ожидание квадрата отклонения от её математического ожидания:

.

Определение. Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:

D(X) = (x₁ - M(X))²·p₁ + (x₂ - M(X))²·p₂ + ... + (x_n- M(X))²·p_n =

= x·p₁ + x·p₂ + ... + =

.

При практических расчетах удобнее пользоваться другой формулой для расчета дисперсии:

.

Отклонение случайной величины от математического ожидания задается стандартным отклонением :

.

Или, другими словами, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, которое называется также и стандартным отклонением или средним квадратичным отклонением, есть корень квадратный из дисперсии:

σ(X) = .

Чем меньше дисперсия D или стандартное отклонение , тем плотнее группируются данные измерения вокруг своего среднего значения.