Пример. Если он умен, то он увидит свою ошибку. Если он искренен, то признается в ней. Но он или не видит своей ошибки, или не признается в ней. Следовательно, он или не умен, или не искренен.

Эта дилемма помогла нам доказать, что ложно суждение "Он умен" или ложно суждение "Он искренен" (или оба вместе), но, к сожалению, нам неизвестно, какое из них точно ложно. Однако для того, чтобы скомпрометировать нашего героя, этого вполне достаточно.

В заключение приведу совет Цицерона оратору: «Никогда не упускай случая воспользоваться дилеммой».

§ 4. Непрямые умозаключения

Непрямые умозаключения позволяют эффективно доказывать и опровергать суждения. Они имеют довольно сложную структуру, благодаря тому, что они сами состоят не только из суждений, но и из умозаключений, выражаемых метасуждениями. В них одно или несколько умозаключений преобразуется в другое умозаключение. Если вспомнить смысл слова "мета", то мы можем назвать непрямые умозаключения "метаумозаключениями".

Сведение к абсуpду

Рассмотрим еще раз задачу о рыцарях и лжецах, которую мы решали в самой первой теме (Образец 2 из Главы 1).

По условию этой задачи мы встретили двух туземцев - X и Y, и X сказал нам: "По крайней мере, один из нас лжец".

На этот раз решим задачу несколько иным способом. Предположим, что X лжец, тогда высказанное им суждение - ложно. Это означает, что ни X, ни Y не являются лжецами. Следовательно, X является рыцарем. Но из того, что X по нашему предположению лжец, следует, что он не рыцарь. Получается, что X у нас одновременно рыцарь и не рыцарь. Получилось противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и X не является лжецом.

В этом рассуждении существенным мбразом используется противоречие как признак неправильности какого-либо умозаключения в нашем рассуждении или ложности какого-либо суждения. Структура этого рассуждения такова. Сначала мы выдвинули некоторое предположение. Затем, используя правильные умозаключения, вывели из него противоречие. И на основании этого признали выдвинутое предположение ложным. Как вы видите, основанием такого рассуждения является такое свойство нашего мышления, как непротиворечивость и выражающий его закон запрета противоречия.

Раскроем структуру этого умозаключения более точно. Обозначим суждение "X - лжец" через p, суждение "X - рыцарь" через q, соответственно, "X не рыцарь" - через q Тогда наше рассуждение будет иметь следующую форму¹:

p\-q а g ^p

Мы видим, что суждение p получается здесь не прямо из других суждений, а косвенным образом - на основании другого умозаключения, выраженного метасуждением p\—q л q .

Обобщим эту схему при помощи метапеременных:

А | -В л В

A

Горизонтальная черта играет здесь ту же роль, что и наш знак " \-", т. е. заменяет слово "следовательно".

Рассуждения, соверщшаемые по этой схеме, называются сведением к абсурду (CA), или по-латыни - reductio ad absurdum. Понятно, что под абсурдом здесь имеется в виду противоречие, т. е. суждение вида В л В.

Сведение к абсурду - мощный прием обоснования ложности суждений. В частности, он широко применяется в ораторской практике и в спорах, когда встает задача опровержения чьей-либо точки зрения. Отыскать противоречие во взглядах оппонента убийственный для него прием. Но чтобы делать это осознанно и четко, представлять, как это делать, и к чему это ведет, надо иметь четкие представления о сведении к абсурду.

Сведение к абсурду - это непрямое умозаключение, в котором ложность некоторого суждения доказывается на основании того, что из данного суждения можно при помощи правильных умозаключений вывести противоречие.

Рассуждение от противного

Со сведением к абсурду связано другое непрямое умозаключение, которое обычно применяется не для опровержения, а для доказательства суждений, но также использует при этом противоречие. Это умозаключение называется рассуждением от противного.

Это умозаключение используется при доказательствах. Однако делается это не так, как, например, в условно-категорических умозаключениях или дилеммах, а непрямым образом. "Противное", о котором говорится в названии рассматриваемого

¹ Строго говоря, это умозаключение следовало бы записать так: (р\—q л q ) \-р, но мы пользуемся здесь более традиционным способом записи, в котором логическая выводимость обозначается при помощи горизонтальной черты. Мы уже сталкивались с таким способом записи в главе 2.

способа умозаключений, это суждение, противоречащее доказываемому суждению, т. е. отрицание доказываемого суждения. Для того чтобы доказать исходное суждение А, мы в соответствии с этим способом умозаключений временно допускаем его отрицание A, как бы временно считаем его истинным. Затем включается тот же механизм вывода, что и при сведении к абсурду, т. е. мы пытаемся при помощи правильных умозаключений вывести противоречие из временно допущенного нами отрицания исходного суждения. Если нам это удалось, то можно считать докаеанной ложность "противного" суждения, а следовательно, истинность нашего исходного суждения.

Следовательно, рассуждение от противного (РП) происходит по следующей схеме:

А | -В л В

A

где A - отрицание суждения, которое мы хотим доказать.

Пример. Можно воспользоваться примером из наших задач о рыцарях и лжецах. Допустим, что я хочу доказать, что туземец X — рыцарь. Для этого я предполагаю на время, что неверно, что X - рыцарь, т. е. что X - лжец, и вывожу из этого отрицания противоречие. Тем самым я доказал неверность отрицания, а значит, верность первоначального утверждения: X - рыцарь.

Нетрудно заметить, что, кроме закона исключенного третьего, на котором основывается сведение к абсурду, рассуждение от противного, использует еще один важный логический закон, который называется законом двойного отрицания. Словами его можно передать так: отрицание отрицания некоторого суждения равносильно его утверждению, а при помощи нашего языка логики суждений так:

A = A

или

A^A.

Действительно, мы принимали гипотезу A . Потом доказали ее ложность, т. е. A, а из этого уже получили верность А. Нетрудно заметить, что на последнем шаге

рассуждения применяется закон двойного отрицания, позволяющий нам из А получить А.

Пример. Рассуждает следователь: "Судя по всему, Г. невиновен. Однако предположим на минуту обратное. Пусть Г. виновен. Тогда 27 сентября 1993 года в 16.00 он должен был быть на месте преступления в г. Светлогорске. Однако свидетель Б. показывает, что Г. видели вечером этого дня в 18.00 в Лондоне на аукционе Кристи. Учитывая трудности пересечения границы, вряд ли он смог добраться до Лондона за четыре часа. Следовательно, он не был 27 сентября 1993 г. в Светлогорске. Значит, моя гипотеза насчет виновности Г. неверна. Следовательно, Г. невиновен ".

Мы видим, что Следователь в своем рассуждении применяет метод рассуждения от противного. Действительно, обозначим суждение "Г. невиновен" через p, тогда "Г. виновен" будет выглядеть как p. Суждение "Г. был в Светлогорске 27 сентября 1993 г." обозначим через q. Тогда "Г. не был 27 сентября 1993 г. в Светлогорске" будет иметь

вид q S2 {■ r

Таковы основные типы умозаключений логики суждений как прямых, так и непрямых.