Вы
пошли на лекцию по логике, но
не
поехали на море. Это
означает, что Вы явно
не сдержали
своего обещания, а следовательно, наше
суждение ложно.
Строка:
A
B
A->B
И
Л
Л
в,
г) Вы
не пошли на лекцию по логике. Хотя
я не могу приветствовать такое
поведение,
но, тем не менее, получается, что поскольку
условие Вашего обещания
отсутствует,
то Вы как бы от него свободны. Поедете
Вы на море со своим другом или
нет,
все равно Вы уже не сможете нарушить
свое обещание, а значит, Вы его
выполнили.
Строки:
A
B
A->B
Л
И
И
Л
Л
И
В
итоге получается следующая таблица:
A
B
A->B
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Вы
дали обещание: «Я
пойду на лекцию по логике тогда и только
тогда, когда
поеду с тобой на море».
Отсюда
получается следующая таблица:
5. «... Тогда и только тогда, когда...» — эквивалентность — суждение эквивалентности.
А
В
А=В
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
6.
«Не...»,
«неверно, что...» — отрицание —
отрицательные суждения.
Отрицание
действует только на одно суждение,
Поэтому таблица будет выглядеть
следующим
образом:
А
A
Л
И
И
Л
Мы
выяснили смысл всех союзов, которые
нас с вами интересовали, и поэтому
можем
вернуться к задаче, которую наши
персонажи обсуждали в начале
этого
параграфа.
Ав:
Как,
теперь вам стал понятен смысл союза
«или»?
Сс:
Да,
теперь можно решить задачу.
Ст:
Каким
образом?
Сс:
Смотри.
Начнем как всегда. Предположим, что X
-
лжец.
Тогда все его суждение:
«Я лжец, или
Y
-
рыцарь»
-
ложно.
Но теперь мы знаем, что разделительное
суждение
ложно только в том случае,
когда оба составляющие его суждения
ложны.
Ст:
Как
это ложны? Первое составляющее суждения
«Я -
лжец»,
раз мы
предположили, что он лжец,
должно быть истинным.
Сс:
Вот,
правильно! Ты мне подсказал, что делать
дальше. Я пока доказал, что в
предположении,
что X
-
лжец,
получается, что оба суждения,
составляющие
высказываемое им сложное
суждение, ложны. Но поскольку он лжец,
то первое из них,
а именно «Я -
лжец»,
должно быть в то же время истинным. Это
означает, что мы
встретили противоречие.
Одно и то же суждение должно быть
одновременно
истинным и ложным. Так
не бывает, по крайней мере, в логике.
Значит, наше
предположение неверно,
X
является
рыцарем.
Ст:
Здорово!
Сс:
Дальше
уже просто. Поскольку X
-
рыцарь,
то все его суждение истинно. Но
поскольку
X
-
рыцарь,
то первая составляющая этого сложного
суждения -
суждение
«Я
лжец» будет ложным. А из таблицы
истинности мы знаем, что для того,
чтобы
суждение с «или» было истинным,
необходимо, чтобы, по крайней мере,
одно из
составляющих его суждений
было истинно. Поскольку же первое
суждение ложно, то
второму не остается
ничего иного, как быть истинным. Значит,
Y
-
рыцарь
и оба они
рыцари!
Ав:
Поздравляю.
Вы замечательно справились с задачей.
А почему Вы с ней смогли
справиться?
Сс:
Потому
что, благодаря таблице, я точно знал,
что означает союз «или», и при
решении
задачи пользовался этим смыслом,
зафиксированным в таблице.
Ав:
Да,
видите, получается, что мы не вполне
понимали точный смысл обычных слов,
и
это мешало нам рассуждать. Теперь же,
когда мы понимаем точный смысл этих
слов,
препятствия устранены, и мы
можем рассуждать свободно и, что еще
более важно,
правильно.
Однако
выяснение смысла логических союзов -
не
единственное, в чем могут
быть полезны
таблицы истинности. Мы еще должны
ответить на главный вопрос: каким
образом
истинность или ложность сложных суждений
зависит от истинности или
ложности
входящих в них суждений? Для
этого нам нужно научиться строить
таблицы
истинности для произвольных
сложных суждений.
Введем
необходимые вспомогательные понятия.
В
суждении A
будем
считать, что A
является
областью действия отрицания.
В
суждениях АлВ,
AvB,
АуВ,
А—»В, А=В
будем считать суждения А и В
областью
действия соответствующего логического
союза.
Простые
утвердительные суждения, обозначаемые
при помощи переменных ЯЛС,
назовем
суждениями
степени 0 (ноль).
Если
суждение С имеет вид А
или
АлВ,
AvB,
AvB,
А—»В,
А=В,
и если
суждение A
является
суждением степени n,
или
если максимальная степень суждений
А,
B
есть
n,
то
суждение C
является
суждением
степени n+1.
Пример.
Суждение (p
vr)^-s имеет
степень 3, потому что суждение p
имеет
степень
1, суждение p
v г
имеет
степень 2, а все суждение, следовательно,
будет иметь
срепень 3.
Пусть
суждение C,
истинность
или ложность которого мы хотим
установить,
имеет степень m.
Тогда
таблица строится следующим образом:
На
входе выписываем все простые суждения
(т.е. суждения степени 0), которые
входят
в суждение C,
пусть
их число будет n.
Высчитываем
число k
строк
в таблице по формуле k
=
2П.
3. В
столбцах входа таблицы выписываем все
возможные комбинации
истинностных
значений простых суждений в следующем
порядке: в самом правом
столбце
чередуем И и Л, во втором справа столбце
чередуем два значения И и два
значения
Л, в третьем -
четыре
значения И подряд с четырьмя значениями
Л подряд, в
четвертом -
восемь
значений И подряд и восемь значений Л
подряд, ... в l-м
столбце
-
справа
-
21
-1
значений И подряд с 2 1-1
значений Л подряд.
На
выходе таблицы по порядку слева направо
выписываем все суждения
степени 1.
Для
каждого суждения степени 1 при помощи
таблиц для логических союзов и
значений,
которые принимают входэщие в него
простые суждения в данной строке,
выписываем
истинностное значение этого суждения
в виде столбца под этим
суждением.
Выписываем
все суждения степени 2 по порядку слева
направо.
Для
каждого суждения степени 2 при помощи
таблиц для логических союзов
и
истинностных значений простых
суждений и суждений степени 1 выписываем
его
столбец истинностных значений
и т.п. вплоть до степени m,
которую
имеет наше
исходное суждение.
9
и далее. Выписываем суждения степени
3, 4 и т.д. до степени m
и
выписщваем
столбцы их значений.
Последний столбец даст нам истинностные
значения суждения C.
Пример
1. Рассмотрим
сложное суждение «.Если
бы Иван IV был бы зол по
природе или не
заботился об интересах государства,
то он не отменил бы опричнины»».
Выявим
его логическую форму. Для этого суждение
«Иван
IV был зол по природе»»
обозначим
через p,
суждение
«Иван
IV заботился об интересах государства»»
- через
q,
суждение
«Иван
IV отменил бы опричнину»» - через
r.
Тогда
запись нашего суждения в ЯЛС
будет
выглядеть так:
(pv
q)-+r
Построим
истинностную таблицу для этого суждения:
1—3.
Простые суждения, входящие в наше
сложное суждение, -
p,
q,
r. Поэтому
вход
таблицы будет выглядеть следующим
образом:
p
q
r
И
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Всего
в таблице получилось 23
= 8 строк.
Выписываем
суждения степени 1. Это и q
и
r
.
Выписываем
их истинностные значения:
p
q
r
q
r
И
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Выписываем
суждения степени 2. Это -pv
q
.
Выписываем
его истинностное значение:
p
q
r
q
r pv
q
И
И
И
Л
Л И
И
И
Л
Л
И И
И
Л
И
И
Л И
И
Л
Л
И
И И
Л
И
И
Л
Л Л
Л
И
Л
Л
И Л
Л
Л
И
И
Л И
Л
Л
Л
И
И И
Выписываем
суждения степени 1. Это и есть наше
исходное суждение.
Выписываем
его истинностное значение:
p
q
r
q
r
pv
q
И
И
И
Л
Л
И
Л
И
И
Л
Л
И
И
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
И
И
И
Такова
наша итоговая таблица. Обратите внимание,
что при вычислении значения
последней
импликации первым следует учитывать
значения третьего столбца выхода,
поскольку
это значения антецедента (основания)
импликации, а вторым - второго
столбца
выхода, поскольку это значение консеквента
(следствия) импликации.
Мы
видим, что наше суждение истинно в пяти
случаях и ложно в трех. И, что
главное,
мы теперь знаем, каким должен быть мир,
чтобы наше суждение было
истинным
или, наоборот, ложным.
Пример
2. Рассмотрим
следующее сложное суждение:
(((р^а)лр)
-+q)
Наш
алгоритм построения таблицы осуществим
в уме, а я выпишу только
результат: p
q
p-xq
((ф-щ)
^p)
-щ) И
И
И
И И И
Л
Л
Л И Л
И
И
Л И Л
Л
И
Л И
Как
мы видим, результат получился удивительным:
все значения оказались И. Это
означает,
что это суждение истинно при всех
значениях, входящих в него простых
суждений.
Пример
3. Рассмотрим
следующее сложное суждение:
(р
л ф
->
p
p
я
(рл
q)
->
p
И
И
И
И Л
И
Л
Л
И Л
Л
И
Л
И Л
Л
Л
Л
И Л
Результат
получился не менее удивительным - во
всех строках наше суждение
приняло
значение «ложь»!
Наш
опыт построения таблиц показывает, что
вообще могут быть суждения трех
типов:
Сложные
суждения, которые во всех строках
таблицы принимают значение
«истина»,
назовем логически
истинными.
Сложные
суждения, которые во всех строках
таблицы принимают значение
«ложь»,
назовем логически
ложными.
Сложные
суждения, среди истинностных значений
которщх встречаются и
истина, и ложь,
назовем фактическими1.
Особенность
первых двух видов суждений заключается
в том, что их истинность
или ложность
не зависит от истинности или ложности
простых суждений, которые их
составляют.
Они истинны или ложны просто в силу
определенных соединений
составляющих
их суждений при помощи логических
союзов. Каков бы ни был мир, т.е.
какие
бы простые суждения ни были в нем
истинны, эти суждения всегда будут
истинными
или всегда ложными.
Другое
дело суждения, которые мы с вами назвали
фактическими. Они иногда
истинны, а
иногда ложны. И зависит это от состояния,
в котором находится внешний
мир, от
того, какие простые суждения в этом
мире истинны, а какие ложны. Если,
например,
p
-
Л,
q
-
Л,
г
-
И,
то сложное суждение (pv
q
)—>г
является ложным, а если
все три простые
суждения ложны, то это суждение истинно.
Таблицы
истинности подсказывают нам некоторые
простые отношения между
нашими
сложными суждениями и миром.
Комбинацию
значений, которую простые суждения
принимают в какой-либо
строке на входе
таблицы, назовем состоянием
мира.
Если
сложное суждение C
принимает
значение «истина» в данной строке,
то
будем говорить, что оно подтверждается
данным
состоянием мира.
Отметим,
что все простые суждения являются
фактическими.
Если
сложное суждение C
принимает
значение «ложь» в данной строке, то
будем
говорить, что С опровергается
данным
состоянием мира.
Теперь
мы можем ввести важные понятия
подтверждаемости и опровержимости
суждений.
Суждение
C
назовем
подтверждаемым,
если оно подтверддается хотя бы
одним
состоянием мира.
Суждение
C
назовем
опровержимым,
если оно опровергается хотя бы
одним
состоянием мира.
Таким
образом, суждение из нашего первого
примера одновременно
подтверждаемо
и опровержимо, суждение из второго
примера -
подтверждаемо,
но не
опровержимо, суждение из третьего
примера -
опровержимо,
но не подтверждаемо.
Теперь
мы можем высказать несколько важных
соображений о науке с точки
зрения
тех знаний, которые мы приобрели при
построении таблиц истинности.
Логика
интересуетсэ логически
истинными и логически ложными суждениями.
Это -
область
ее
исследования. А в область исследования
каких наук попадают суждения, которые
не
являются ни логически ложными, ни
логически истинными? Ответ нам
подсказывает
само их название
«фактические». Это означает, что они
попадают в область наук,
которые
занимаются открытием и обобщением
фактов, т.е. тех наук, которые, в отличие
от
логики и математики, называются
эмпирическими:
физики,
биологии, химии,
географии, истории
и т.п.
Но
какие же суждения ценятся более всего
в эмпирических науках? Как ни
странно,
но наши таблицы могут подсказать нам
ответ на этот вопрос.
Введем
понятие вероятности
суждения.
Вероятность
суждения C,
обозначим
ее p(C),
определяется
отношением
состояний мира, подтверждающих
это суждение, к общему числу состояний
мира в
таблице для этого суждения.
k
Иначе
говоря, p(C)=
—,
где k
-
число
состояний мира, подтверждающих это
n
суждение,
n
-
общее
число состояний мира для данного
суждения.
Нетрудно убедиться, что 0 <
р(С)
< 1.
Наши
таблицы сразу подсказывают нам, какое
суждение больше сообщает нам о
мире.
Эту характеристику суждений обычно
называют информацией.
Основатели
логической теории информации Р. Карнап
и И. Бар-Хиллел
предложили следующее
уточнение нашего интуитивного
представления об
информативности
наших суждений:
Через
И(С)
обозначим количество информации,
сообщаемое суждением C.
Тогда:
И(С)
= 1 - p(C)