Пример. Суждения "Все великие люди низкого роста" и "Некоторые великие люди низкого роста" совместимы, так как в случае истинности первого суждения второе также истинно, а суждения "Все великие люди низкого роста" и "Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста" - несовместимы, ибо они не могут быть одновременно истинны.

У каждого такого типа отношений есть свои виды. Так, отношения совместимости делятся на отношения подчинения и дополнительности. Отношения несовместимости - на отношения противоположности и противоречия.

Для систематизации и наглядного представления этих отношений еще в Средние века был придуман так называемый "логический квадрат", который выглядит следующим образом:

А противоположность E п о п

⁰ ^ _п v* О

О *Л

Д ^ z> Д

ч <į ч

и и

H sjv v5 н

e * ^e. p

^e o K ^e

и о V и

e v e

1 ДополнительностьО

Рис. 1

Логический квадрат позволяет легко запомнить характеристики логических отношений между категорическими суждениями.

Охарактеризуем каждое из этих отношений в отдельности.

Совместимость

1. Подчинение.

Подчинение характеризует отношения между А и I, Е и О, причем частные суждения подчиняются общим.

А (Е) назовем подчиняющим суждением, I (О) — подчиненным суждением.

а) Истинность подчиняющего суждения обусловливает истинность подчиненного, т.е. если суждение "Все великие люди низкого роста" (А) истинно, то истинно и суждение "Некоторые великие люди низкого роста" (I). То же для Е и О.

б) Ложность подчиненного суждения обусловливает ложность подчиняющего суждения. Если суждение "Некоторые эпузы гантируются" (I) ложно, то суждение "Все эпузы гантируются" (A) также ложно. То же для О и Е.

в) Вместе с тем подчиняющее и подчиненное суждения могут быть вместе ложны. Так, суждения "Ни один человек не является смертным" (E) и "Некоторые люди не являются смертными" (O) одновременно ложны.

Если для обозначения отношения подчинения ввести знак " р", то указанные отношения будут выглядеть следующим образом:

Ah I

е|= о

2. Дополнительность¹.

Дополнительность характеризует отношения между I и О.

Суждения находятся в отношении дополнительности, если они не могут быть вместе ложными.

Отсюда вытекает:

а) они могут быть вместе истинными;

б, в) одно из них может быть истинным, а другое - ложным.

Пример. Рассмотрим суждения "Некоторые студенты являются веселыми людьми" и "Некоторые студенты не являются веселыми людьми". Очевидно, что они могут быть вместе истинными. Но мобут ли они быть вместе ложными? Предположим, что суждение "Некоторые студенты являются веселыми людьми" ложно. Это означает, что среди студентов нет ни одного веселого человека, т.е. суждение "Ни один студент не является веселым человеком" истинно, тогда в силу отношения подчинения суждение "Некоторые студенты не являются веселыми людьми" будет истинным, и следовательно, не может быть ложным.

Дополнительность характеризует отношения между I и О следующим образом.

Если I ложно, то О истинно. Если О ложно, то I истинно.

Несовместимость

1. Противоречие.

Суждения находятся в отношении противоречия, если они не могут быть ни вместе истинны, ни вместе ложны.

В отношении противоречия находятся суждения А и О, Е и I.

Пример. Именно отношение противоречия помогло нашим героям найти наилучшую стратегию в споре. Суждения "Все великие люди имеют низкий рост" и суждение "Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста" находятся в отношении противоречия. Если одно из них истинно, то другое обязательно ложно, и наоборот.

Противоречие можно охарактеризовать следующим образом.

В других источниках вы найдете такие названия для этого отношения: субконтрарность, подпротивность, противность.

Если А (Е) истинно, то О (I) ложно. Если А (Е) ложно, то О (I) истинно. Если О (I) истинно, то А (Е) ложно. Если О (I) ложно, то А (Е) истинно.

Нетрудно заметить, сколь содержательно отношение противоречия, сколько конкретных отношений между отдельными видами категорических суждений вытекает из этого отношения.

Отношение противоречия - одно из самых важных видов логических отношений вообще. Вы могли убедиться в этом, когда мы решали задачи о рыцарях и лжецах, или когда вы использовали метод доказательства от противного при решении математических задач. Обратите внимание на то, что нам удавалось добиться прогресса в решении задачи, когда мы обнаруживали противоречие между суждениями и устраняли его.

Заметим, что каждое логически истинное суждение находится в отношении противоречия с каждым логически ложным суждением.

2. Противоположность.

Суждения А и В находятся в отношении противоположности, если они не могут

быть вместе истинными.

Очевидно, что мни могут быть противоположности находятся суждения А и отношения:

Если А истинно, то Е ложно, Если Е истинно, то А ложно.

Пример. Суждения "Все великие люди — низкого роста" и "Ни один великий человек не является человеком низкого роста" находятся в отношении противоположности.

Ав: Подведем итоги. Пусть наш оппонент в споре выдвигает суждение "Все интеллигенты — бездельники". Как мы с ним будем спорить?

Ст: Здесь велик соблазн броситься защищать мнение "Ни один интеллигент не является бездельником". Но теперь мы знаем, что это не лучшая стратегия, если ты хочешь выиграть спор.

Сс: Правильно. Теперь ясно, что следует пользоваться отношением противоречия, потому что именно суждение, находящееся в отношении противоречия, является наиболее полным отрицанием того, что сказано в исходном суждении. Если нам удастся обосновать противоречащее суждение, то из этого определенно следует ложность суждения нашего оппонента.

Ав: А почему неправильно пользоваться отношением противоположности?

Сс: Потому что в этом случае мы, хотя и смогли бы доказать ложность убеждения оппонента, но нам пришлось бы доказывать слишком много.

вместе ложными. В отношении Е. Между ними имеются следующие