Глава 10

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ЛОГИКИ СУЖДЕНИЙ

§ 1. Условно-категорические и чисто условные умозаключения

Умозаключения логики суждений основаны на структуре сложных суждений.

Сложные суждения состоят из простых суждений и логических союзов, которые связывают простые суждения воедино. Возможность совершать умозаключения, описываемые в логике суждений, мы получаем именно потому, что логические союзы имеют определенный смысл, выражаемый их таблицами истинности. Поэтому можно сказать, что умозаключения логики суждений - это умозаключения, основанные на смысле логических союзов. Прежде, чем перейти к рассмотрению конкретных видов умозаключения, построим классификацию умозаключений логики суждений.

Умозаключения логики суждений бывают прямые и непрямые.

Прямы ми называются умозаключения, в которых заключение выводится из некоторого множества суждений.

Не п рямы ми называются умозаключения, которые получаются путем преобразования других умозаключений.

Мы будем рассматривать четыре вида прямых умозаключений логики суждений:

1. условно-категорические умозаключения (УКУ);

2. чисто условные умозаключения (ЧУУ);

3. разделительно-категорические умозаключения (РКУ);

4. условно-разделительные умозаключения (УРУ).

Также мы будем рассматривать три вида непрямых умозаключений:

1. сведение к абсурду (СА);

2. рассуждение от противного (РП);

3. рассуждение по случаям (РС).

Таким образом, получается следующая классификация умозаключений логики суждений:

Умозаключения логики

Непрямые

е ы н в о л с у

о т с

и

Сс: Что-то Вы нас совсем классификациями замучили!

Ав: Замучил? А я думал, что вы их полюбили и теперь готовы наслаждаться любой хорошо построенной классификацией.

Ст: Да нам и интересно. Только в этой классификации непонятно, что это за умозаключения разные: чисто-условные, условно-категорические.

Ав: Этим мы и собираемся заниматься. А для начала вам задача. У нас есть три вертикально расположенные квадрата:

и три объекта 1, 2 и 3. Задание таково: расположить эти три объекта по одному в квадратах, руководствуясь следующими истинными суждениями:

а) Если 1 наверху, то 2 в середине.

б) Если 3 в середине, то 1 наверху.

в) 1 наверху.

Сс: Ясно. Из первого и третьего суждения следует, что 1 наверху, а 2 в середине. А из второго и третьего следует, что 1 наверху, а 3 в середине. Значит... А что это значит?

Ст: Да, что это значит? У тебя получается, что 2 и 3 одновременно должны быть расположены в середине. А наш Автор просил нас расположить объекты по одному в квадрате.

Сс: М да, что-то не так. А не могут они одновременно быть в середине, а нижний квадрат пустой?

Ав: По условию задачи не могут. Сс: А вообще?

Ав: За "вообще" я не отвечаю, давайте решать именно эту задачу.

Ст: Я понял! Раз результат получился неправильный, значит ты где-то рассуждал неправильно. А у тебя в решении задачи было два рассуждения. Первое: ты вывел из первого и третьего суждения, что 2 в середине, а затем из второго и третьего - что в середине 3. Следовательно, одно из этих рассуждений неправильное. И я знаю какое!

Сс: Какое?

Ст: Ясно, что второе. Из второго и третьего суждения нельзя вывести, что 3 в середине.

Ав: А почему?

Ст: Почему? Это трудно сказать. Но если вспомнить, что вы говорили о правильных и неправильных умозаключениях, то, наверное, потому, что посылки истинны, а заключение ложно. Да, это можно и по таблице истинности установить. (Подходит к доске и пишет):

Обозначим суждение "1 наверху" через p, "2 в середине" - через q, а "3 в середине" - через r. Тогда получится так:

а) p^>q.

б) г—»р.

в) р.

Для суждений входящих в первое умозаключение получится следующая таблица:

p	q		q
И	И	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	И	И
Л	Л	И	Л

Здесь мы видим, что для каждой строки таблицы верно, что если обе посылки (p—»д и p) истинны, то и заключение (q) также истинно. (Нетрудно заметить, что обе посылки истинны только в первой строке таблицы, а значит именно она имеет решающее значение для определения правильности умозаключения.) А это означает, что наше умозаключение правильно.

Для суждений, входящих во второе умоеаключение получится следующая таблица:

Ав: Отлично! Вам все удалось доказать.

Ст: Следовательно, наши объекты надо разместить так:

1

2 3

Условно категорические умозаключения

Проанализируем те умозаключения, которые встретились в речи Сообразительного студента в ходе решения задачи.

1. Если 1 наверху, то 2 в середине, и 1 наверху, следовательно, 2 в середине.

2. Если 3 в середине, то 1 наверху, и 1 наверху, следовательно, 3 в середине.

Обозначим наши суждения так же, как обозначил их Студент-тугодум, но заменим символы p, q, r на метапеременные A, B, С.

Тогда логическую форму умозаключения (1) мы сможем записать в таком виде:

1) А^В, А |-В,

а логическую форму умозаключения (2) в следующем виде:

2) С->А, А |-С.

Напомню, что знак " [■ " заменяет слово "выводимо".

Из нашего диалога выяснилось, что умозаключение (1) является правильным, а умозаключение (2) - неправильным. Попытаемся подтвердить это содержательно. Рассмотрим следующее умозаключение, совершенное одним следователем: "Если этот человек преступник, то он был на месте преступления. Этот человек был на месте преступления. Следовательно, этот человек преступник". Каждый из вас сразу же скажет, что это умозаключение неправильно. Действительно, из того, что некий человек был на месте преступления, нельзя с достоверностью заключить, был он преступником

или нет. На месте преступления ведь были и свидетели, и, наконец, жертва. Но мы видим, что умозаключение нашего незадачливого следователя происходит по той же самой схеме, что и наше умозаключение (2). Действительно, обозначим суждение "Этот человек преступник" через p, "Этот человек был на месте преступления" через q. Тогда мы получим следующую схему:

p^>q, q \-р.

Очевидно, что это - конкретизация схемы умозакйючения (2). Наш пример показывает, что (2) - это схема такого умозаключения, которое от истинных посылок может вести к ложному заключению, а значит, это умозаключение неправильно.

Решая эту задачу, мы столкнулись с одним из видов условно-категорических умозаключений. Дадим их общее определение.

Условно - категорическими называются умозаключения, в которых одна посылка — условное суждение, а вторая посылка и заключение — суждения категорические.

Терминология "условно-категорические" умозаключения - дань традиции. То, что здесь называется категорическим суждением, совпадает с традиционным понятием категорического суждения (т. е. включает в себя как утвердительные простые суждения, так и отрицательные простые суждения) и несколько отличается от тех простых суждений, которые мы изучали в теме "Суждение". Однако использования языка логики суждений для формализации таких умозаключения вносит некоторые изменения в наш подход к понятию категорического суждения в данном контексте. Говоря об умозаключениях логики суждений, мы под термином " категорическое суждение" всегда будем иметь в виду простые утвердительные суждения в смысле §1 главы 6 или их отрицания (т. е. любое суждение p и суждение p мы будем считать категорическим суждением¹). До сих пор мы рассмотрели один вид условно-категорических умозаключений, схема которых выглядит так:

А->В, А |-В

Умозаключения, совершаемые по схеме А^В, А [■ В назовем умозаключениями от утверждения основания к утверждению следсрвия

В классической традиции он еще называется латинским термином modus ponendo ponelis или проще - modus ponens (что означает способ утверждающе утверждающий, или проще - способ утверждающий).

Вместе с тем запомним, что такой вид умозаключений, как

А->В,В |-А,

называемый: от утверждения следствия к утверждению основания, является неправильным.

И даже, как показывают ниши схемы с метазнаками, любые сложные суждения или их отрицания.

Проверить правильность умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия можно при помощи таблиц. Мы помним, что нам для этого следсет объединить посылки при помощи союза "и" и проверить, имеется ли отношение логического следования между получившимся сложным суждением и заключением.

А	В	А->В	(А->В) л А	В
И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	И
Л	Л	И	Л	Л

Мы видим, что в таблице нет такого случая, когда первое суждение истинно, а второе ложно, следовательно, между ними имеется отношение логического следования и наше умозаключение правильно.

Умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия являются весьма простыми и на примерах выглядят тривиально. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Если каждый день пить кофе, то рано или поздно в голову придет хорошая идея. Этот человек каждый день пьет кофе. Следовательно, ему рано или поздно в голову придет хорошая идея.

Пример. Если человек каждый день смотрит телевизор, то он становится глупее. Этот человек каждый день смотрит телевизор. Следовательно, он становится глупее.

Пояснение. По этой схеме вы сами можете придумать сколь угодно много примеров. Однако дело не в этих примерах. Существенен следующий вопрос: почему, несмотря на тривиальность этого вида умозаключений, логики им охотно пользуются, и во многих формализованных системах логики modus ponens является единственным правилом вывода? Дело в том, что умозаключения от утверждения следствия к утверждению основания являются хорошим средством поиска доказательства тех суждений, которые мы хотим обосновать. Они нам подсказывают, что для того, чтобы доказать суждение В, нужно найти друбое суждение А, которое не только было бы истинным, но и составленная из А и В импликация А -^В также была бы истинной. В этом смысле modus ponens является составляющей частью закона достаточного основания. Действительно, чтобы доказать суждение В согласно рассматриваемому способу умозаключения, нужно найти другое суждение, которое было бы достаточным основанием истинности В. Однако изолированное суждение не может быть достаточным основанием. Чтобы получить А необходимо так связать суждения А и В, чтобы А было условием для В, а это и есть импликация А —»5.

Допустим, нам надо доказать, что данное тело расширяется. Достаточным основанием для этого будет тот факт, что это тело нагревается. Но для того, чтобы полностью обосновать доказываемое утверждение, нам еще необходимо привести импликацию "Если тело нагревается, то оно расширяется". Обозначим суждение "Тело нагревается" через р, тело расширяется - через q. Тогда наш вывод будет выглядеть следующим образом:

p^q,p\q.

В этом выводе нельзя не узнать частный случай нашего умозаключения " от утверждения основания к утверждению следствия".

Ав: Теперь, я думаю, вам не доставит труда справиться со следующей задачей: условия те же самые, что и в предыдущей задаче, только суждения несколько другие:

а) Если 2 внизу, то 1 в середине.

б) Если 1 в середине, то 3 внизу.

в) 1 наверху.

Ст: Да, но здесь ничего не получается. Я заметил, что в предыдущем умозаключении у нас получался вывод, потому что в посылках было одно общее суждение. А здесь у нас общего суждения нет.

Сс: Значит, надо его сделать!

Ст: Как это "сделать"?

Сс: Ну, получить или еще что-нибудь там.

Ав: Попытайтесь!

Сс: Я думаю, мы можем сказать, что если 1 наверху, то 1 не в середине. Ст: Ага, правильно! Теперь мы получили общее суждение. Ав: Получить-то получили, а что дальше?

Сс: Дальше так. Из того, что 1 не в середине, и суждения (а) мы можем получить, что 2 не внизу, т.е. 2 в середине. А из того, что 1 не в середине, и суждения (б) - что 3 не внизу, р.е. 3 в середине.

Ст: У тебя опять получились два объекта в одном квадрате.

Сс: Теперь мы знаем, что делать. Это означает, что одно из умозаключений, которые я применил, правильное, а другое - нет. Осталось только решить, какое именно.

Ст: Давайте попробуем, как в прошлый раз. Обозначим суждение "2 внизу" через р, "7 в середине" - через q, "3 внизу" - через r . Тогда "1 не в середине" будет q . Отсюда твое первое умозаключение будет выглядеть следующим образом:

1. p^q, q [p,

2. ą-*r,ą\r.

Теперь осталось составить таблицы. Сначала для первого умозаключения:

p^>q

(p->q)a q

^p

^q

^p

q	r		q	(q^>r)/\ q	r
И	И	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	Л	И
Л	И	И	И	И	Л
Л	Л	И	И	Л	И

Здесь в третьей строке суждение (g—»г)л q истинно, а суждение г ложно. Значит, между этими суждениями нет отношения логического следования, а это означает, что второе умозаключение неправильно. Следовательно, 2 в середине, а 3 внизу.

Ав: Что же у вас уже сформировался систематический метод проверки умозаключений.

Таким образом, в диалоге наших героев мы встретились с двумя типами умозаключений. Приведем их общие схемы с метапеременными:

1. Л->А В\-А.

2. Л->А А \-В

Из диалога нам стало ясно, что умозаключения по первой схеме правильные, а по второй - неправильные.

Покажем, что аторая схема неправильная, при помощи контрпримера, т.е. умозаключения, совершаемого по указанной форме, но в котором посылки явно истинны, а заключение может быть и ложным.

Контрпример . В качестве контрпримера рассмотрим умозаключение, которым часто пользуются врачи, когда решают, выписать больничный лист или нет:

Если у человека повышена температура, то он болен. У этого человека температура не повышена. Следовательно, он не болен.

Мы видим, что в этом умозаключении, происходящим по схеме (2), посылки мобут быть истинными, а заключение ложным. Следовательно, это умозаключение неправильно.

Пример. Рассмотрим умозаключение по схеме (1). Однажды была сформулирована гипотеза о том, что известный персонаж российской истории Лжедмитрий 1 учился в коллеже иезуитов. Тогда же было сформулировано следующее умозаключение: Лжедмитрий 1 не был воспитанником иезуитов, потому что он плохо знал латынь.

Развернем это умозаключение в полную форму:

Если бы Лжедмитрий 1 был учеником иезуитов, то он хорошо знал бы латынь. Неверно, что Лжедмитрий 1 хорошо знал латынь. Следовательно, Лжедмитрий 1 не был учеником иезуитов.

Мы видим, что в данном случае наше умозаключение было использовано для опровержения выдвинутой гипотезы. В этом и заключается главная роль такого типа умозаключений в познании и общении.

Умозаключения, совершаемые по схеме А^В, В\—А назовем умозаключениями от отрицания следствия к отрицанию основания.

В традиции, идущей от средневековой логики, эти умозаключения назывались modus tollendo toliems, или проще modus tollens, что означает способ отрицающе- отрицающий или просто - способ отрицающий.

Умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания часто используются в аргументации и в ораторской практике.

Пример. Рассмотрим, каким образом использовал эти умозаключения знаменитый античный оратор Демосфен. В "Третьей речи против Филиппа" Демосфен говорил следующее: "... если кто-нибудь за мир считает такое положение, при котором тот человек [Филипп] получит возможность покорить всех остальных..., то он... не в своем уме". Очевидно, что Демосфен предполагает, что его слушатели считают, что они в своем уме. Отсюда следует заключение: "Нельзя считать за мир такое положение, при котором тот человек [Филипп] получит возможность покорить всех остальных". Ораторский эффект применения умозаключения от отрицания следствия ("мы в своем уме") к отрицанию основания ("нельзя считать...") заключается в том, что одна посылка и заключение остаются не высказанными, но столь очевидны, что любой слушатель получит необходимое заключение сам.

Схема этого рассуждения такова: обозначим суждение " Если кто-нибудь за мир считает... остальных" через p, суждение "Он в своем уме" - через q.

Тогда получается следующая схема:

p^q,q\-p.

Нетрудно заметить, что это одна из модификаций нашего умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания. Только здесь, поскольку в консеквенте импликации стоит отрицательное суждение, его отрицание представлено суждением утвердительным.

Пример. В том же рексте Демосфена встречаем следующее рассуждение: "... если мы хотим дожидаться того времени, когда он сам признается, что ведет войну, тогда мы самые глупые люди...". Очевидно, что его слушатели не считают себя самыми глупыми людьми, а следовательно, они не должны дожидаться того времени, когда он сам признается, что ведет войну.

Обозначим

суждение "Мы хотим дожидаться того времени и т.д." через p, суждение "Мы самые глупые люди" - через q.

Тогда наше умозаключение будет выглядеть так:

p^>q,q\-p

Это в точности совпадает с нашей схемой умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания.

Пример. Еще один более сложный случай применения этого рода умозаключений уже не в ораторской прозе, а в ученом трактате дает нам знаменитый "Князь" Никколо Макиавелли. Там мы встречаем следующее рассуждение: "Он [Чезаре Борджиа] превозмог бы любые трудности, если бы его не теснили с двух сторон враждебные армии или не донимала болезнь". Слово "бы" в консеквенте импликации означает, что это утверждение на самом деле не истинно, т.е. истинно его отрицание. Что же получается в таком случае?

Обозначим сложное суждение " Его не теснили с двух сторон враждебные армии или не донимала болезнь" через А, а суждение "Он превозмог любые трудности" - через В. Тогда наше рассуждение будет иметь следующую форму:

А^>В, В\-А

Таким образом, при помощи нашего умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания мы получаем следующее заключение: "Неверно, что его не теснили с двух сторон враждебные армии, и не донимала болезнь". Это последнее

суждение само имеет форму p v q, что по законам логики суждений эквивалентно суждению p/\q. Следовательно, окончательный вывод будет таков: "Его теснили с двух сторон враждебные армии и донимала болезнь". Таким образом, наши умозаключения позволили сформулировать точный вывод, который только предполагается в тексте Макиавелли, но не был сформулирован явным образом. Отсюда мы можем сделать общий вывод: знание умозаключений позволяет точно анализировать неявную информацию, содержащуюся в тексте.

Чисто условные умозаключения

Это довольно простой вид умозаключений. Из самого названия видно, что в такие умозаключения входят только условные суждения. Точнее,

Чисто условными называются умозаключения, в которых обе посылки и заключение представляют собой условные суждения.

Схема условного умозаключения будет тогда выглядеть следующим образом:

А->В,В->С |-А->С.

Пример, Если студент хорошо занимается в течение семестра, то он хорошо сдает сессию. Если студент хорошо сдает сессию, то он получает стипендию. Следовательно, если студент хорошо занимается во время семестра, то он получает стипендию.

Вы видите, что чисто условные умозаключения по своей форме и по фактическому совершению в мышлении совершенно элементарны и мы их, как правило, делаем, не замечая этого. Однако при реконструкции умозаключений в логике нельзя обойтись без такого рода умозаключений и для этого их приходится изучать. В символической логике формула, соответствующая чисто условным умозаключениям (если заменить знак выводимости " |-" на импликацию, а запятые - на конъюнкцию, получается ((А—>В) л (В—>С))—>(А—>С)), называется законом транзитивности импликации.

Пример. Чтобы увидеть, каким образом применяются условно-категорические и чисто условные умозаключения, рассмотрим решение одной из задач о рыцарях и лжецах.

На нашем острове мы встретили трех туземцев. X сказал: "Y — рыцарь".

Y сказал: "Если X — рыцарь, то Z — рыцарь". Кто такие X, Y и Z?

Начнем рассуждать. Предположим, что X — лжец. Тогда суждение, которое высказывает X, ложно, и следовательно, Y — лжец, но тогда и его суждение ложно, а следовательно, в силу ложности импликации (см. таблицу истинности для импликации) получается, что X - рыцарь, а Z - лжец. Но из нашего предположения следует, что X - не рыцарь. Следовательно, мы получили противоречие. Получилось, что туземец X - одновременно рыцарь и не рыцарь. Следовательно, наше предполмжение неверно и X не является лжецом, т.е. он — рыцарь.

Теперь частично реконструируем ход нашего рассуждения.

Обозначим суждения:

"X - лжец" через р. "X - рыцарь" через q. "Y - лжец" через r.

Тогда получим следующее рассуждение:

1. Мы предположили, что X - лжец, т.е. р.

2. Далее по определению мы получили, что если X - лжец, то он не рыцарь, т. е. p^q.

3. Далее мы доказали, что если X - лжец, то Y - лжец, т.е. р^>г.

1. Затем мы доказали, что если Y - лжец, то X-рыцарь, т.е. r -^q.

2. Теперь из 3 и 4 мы можем получить при помощи чисто условного умозаключения, что если X - лжец, то X -рыцарь, т.е. p —»^q.

3. Но из 1 и 5, т.е. из того, что X - лжец, и того, что если X - лжец, то он рыцарь, мы можем при помощи условно-категорического умозаключения получить, что X—рыцарь:p^q,p \-q.

4. Но из 1 и 2, т.е. из того, что X - лжец и если X — лжец, то X — не рыцарь, мы получим, что X - не рыцарь: p —> q,p\-q.

5. Таким образом, мы доказали, что X - одновременно рыцарь и не рыцарь, т.е. получили противоречие: q л q .

6. Противоречие означает, что наше предположение ложно, т.е. неверно, что X лжец, а следовательно, X - рыцарь.

Нетрудно заметить из нашего анализа, что на шаге 5 нашего рассуждения мы применили чисто условное умозаключение, а на шагах 6 и 7 мы применили умозаключение от утверждения основания к утверждению следствия.

Без этих умозаключений данное рассуждение проведено быть не могло, а значит эта задача осталась бы нерешенной.

Заметим, что в нашем первоначальном рассуждении эти шаги не фигурировали явно. Для того, чтобы заметить их, нам пришлось провести логический анализ рассуждения. Зачем? Мы знаем, что ошибки по большей части скрываются не в том, что высказано явно, а в том, что явно не сказано, что умалчивается при рассуждении.

Поэтому реконструкция рассуждений в таком более полном виде показывает нам, что может открыться в рассуждении внимательному уму, и где возможны ошибки.

Мы уже убедились на примере из Макиавелли, что знание логических умозаключений позволяет нам анализировать неявную информацию, содержащуюся в тексте.

Умозаключение, похожее на чисто условное, возможно и для такой логической связи, как эквивалентность. Действительно, если в схеме чисто условного умозаключения заменить импликацию на эквивалентность, мы опять получим правильное умозаключение:

А = В,В = С |-А=С

Это умозаключение соответстаует известной вам арифметической аксиоме: если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой.

((а=Ь)л(Ь=с)) h(a = c) § 2. Разделительно-категорические умозаключения

Разделительно-категорические умозаключения широко применимы в научном и обычном мышлении, а также в ораторской практике.

Пример. Рассмотрим следующую ситуацию. На заседании совета директоров фирмы "Экалогика" генеральный директор произносит следующую фразу: "Нам предстоит согласиться на условия банка или стать банкротами. Но мы, ведь, не допустим банкротства". Ясно, что генеральный директор стремится убедить остальных в том, что совету следует принять условия банка. Как он это делает? Он ставит перед советом альтернативу, т.е. говорит о том, существует ровно две возможности, но одна из них явно неприемлема, следовательно, необходимо выбрать другую. Это и есть один из видов разделительно-категорических умозаключений.

Разделительно - категорическими умозаключениями называются умозаключения, в которых одна посылка - разделительное суждение, а другая посылка и заключение — суждения категорические.

Мы видим, что в речи нашего генерального директора сначала сформулировано разделительное суждение: "Нам предстоит согласиться на условия банка или стать банкротами", а затем высиазано категорическое¹ суждение "Мы не допустим банкротства". Заключение здесь опущено, но мы его легко реконструируем: "Нам предстоит согласиться на условия банка". Это означает, что схема разделительно- категорических умозаключений также живет в нашей душе, как и другие логические понятия и схемы. Мы ее сейчас только выявим и будем впредь относиться к ней сознательно.

Если обозначить суждение "Нам предстоит согласиться на условия банка" через р, суждение "Мы не допустим банкротства" через q, то получится сйедующее умозаключение:

pvq, q \-р.

Или, обобщая его до схемы умозаключения:

Av В, В [А

Этот способ умозаключения называется отрицающе-утверждающим или по латыни modus tollendo ponens.

Обратите внимание, что в этом умозаключении и в его схеме фигурирует обычная дизъюнкция, обычное "или". Действительно, ведь если рассмотреть первую фразу нашего генерального директора изолированно, то может случиться и так, что фирма согласится на условия банка и при этом потерпит банкротство, т.е. два составляющих ее простых суждения окажутся истинными одновременно.

Вместе с тем эта схема умозаключения останется правильной и при использовании в ней строгой дизъюнкции:

A v В, В [А.

Пример. Теперь рассмотрим ситуацию на митинге. Оратор, убеждая своих избирателей голосовать за его партию, говорит: " Либо мы победим, либо все пойдет ко всем чертям! Но мы победим!"

С той оговоркой, которую мы сформулировали в предыдущем параграфе.

Конечно, он хочет навести своих слушателей на мысль о том, что в случае победы его партии, все не пойдет ко всем чертям, а, наоборот, будет благоденствие и процветание. Иначе говоря, пропущенное заключение будет следующим: "Все не пойдет ко всем чертям".

Здесь мы также сталкиваемся с разделительно-категорическим умозаключением, к существованию которого в душах слушателей и обращается оратор. Давайте реконструируем это рассуждение. Обозначим суждение " Мы победим" через р, суждение "Все пойдет ко всем чертям" - через q. Тогда рассуждение нашего оратора бсдет выглядеть следующим образом:

pyq,p\-q .

Или в более общей форме:

AvB,A\-B.

Этот способ умозаключения назовем способом утверждающе-отрицающим, или по-латыни - modus ponendo tollens.

Разделительно-категорические умозаключения широко применяются в практике рассуждений. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. В "Государе" Макиавелли встречается следующее рассуждение: "... войско, которым государь защищает свою страну, бывает либо собственным, либо союзническим, либо наемным, либо смешанным. Наемные и союзнические войска бесполезны и опасны".

Реконструируем это рассуждение. Макиавелли утверждает, что в принципе государь может защитить свою страну или при помощи собственных (р), или при помощи союзнических (q), или при помощи наемных (r), или при помощи смешанных (s) войск. Но при помощи наемных и союзнических государь не может защитить свою страну (q л г). Следовательно, он может защитить свою страну только при помощи собственных или смешанных войск (pv s).

Таким образом, наше рассуждение имеет следующую форму:

pvqvrvs, ą/\r \-p\/s.

Если же заменить наши суждения метапеременными, то мы увидим, что рассуждение проходило по нашей схеме разделительно-категорического умозаключения, способ отрицающе-утверждающий. Действительно, перегруппируем члены дизъюнкции p v qv r v s как (p v s) v (qv r) (смысл утверждения от этого не изменится), заменим суждение p v s на А, ас суждением q л г проведем следующую

операцию: по одному из законов логики это суждение эквивалентно суждению q Vr, заменим в последнем суждении q v г на В. В таком случае q V г будет обозначаться как B Тогда получится

Av В, В [А

Макиавелли употребляет здесь именно разделительно-категорическое умозаключение, способ отрицающе-утверждающий.

Пример. В третьей речи против Филиппа Демосфен приводит следующее рассуждение: "... олинфянам он объявил..., что осталось одно из двух — либо им не жить в Олинфе, либо ему самому в Македонии". Очевидно, что Филипп собирается и далее жить в Македонии. Следовательно, он своим рассуждением дает понять, что олинфянам не жить в Олинфе. Обозначим "Вам жить в Олинфе" через р, "Мне жить в Македонии" - через q. Тогда рассуждение Филиппа предстанет в следующей форме:

pvq,q\-p.

Если заменить суждение q на эквивалентное ему суждение q (с двумя отрицаниями над q), то несложно увидеть, что это - частный случай схемы

Av В, В \-А.

Разделительно-категорические умозаключения довольно просты, и, если ясна структура умозаключения, то ошибиться при их выполнении довольно трудно. Однако все же существуют два вида типичных ошибок.

а) Первая ошибка связана с тем, что в утверждающе-отрицающем способе вместо строгой дизъюнкции используется обычная дизъюнкция. Воспользуемся ранее приведенным примером: допустим, что наш генеральный директор, рассказывая о своей деятельности, говорит: "Мы должны были согласиться на условия банка или стать банкротами. Мы согласились на условия банка". Следует ли из этого, что они не стали банкротами, как хочет намекнуть генеральный директор? Ответ на этот вопрос вытекает из ответа на вопрос о том, какая у нас дизъюнкция в разделительной посылке. Если бы дизъюнкция была строгой, то умозаключение было бы правильным. Но в данном случае мы явно имеем дело с обычной (нестрогой) дизъюнкцией и поэтому обе альтернативы могут быть одновременно истинны, т.е. из того, что они согласились на условия банка, еще ничего не следует о том, потерпели они банкротство или нет.

б) Наиболее типичная ошибка в этих умозаключениях относится также к дизъюнкции, но не к типу дизъюнкции, а к перечню альтернатив. Это не логическая ошибка, но тем не менее весьма распространена в наших умозаключениях. Говоря языком традиционной логики, это - не формальная, а материальная (содержательная) ошибка.

Пример. Книги бывают научные или художественные. Эта книга — не художественная.

Следовательно, она научная.

Это умозаключение совершенно правильно. Однако его заключение может оказаться и ложным, поскольку первая посылка является ложным суждением. Кроме научных и художественных книг бывают еще и учебники. Это означает, что наше заключение может быть ложным, поскольку эта книга может быть не научной книгой, а учебником.