- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования 11
- •Раздел II Экономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия. 38
- •Раздел III Модели исследования операций. 90
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования. 154
- •Раздел V. Экономико-математические модели социально-экономических систем 220
- •Введение
- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования
- •1.1 Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей в управлении ими
- •1.2 Классификация экономико-математических моделей.
- •1.3 Этапы и проблемы экономико-математического моделирования.
- •1.4 Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей.
- •1.5 Сущность оптимизации социально-экономических ссистем
- •1.6 Общая структура оптимизационной модели и система обозначений.
- •1.7 Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования.
- •РазделIiЭкономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия.
- •2.1 Экономико-математические модели составления производственной программы предприятия.
- •2.1.2 Экономическая интерпретация результатов решения задачи формирования портфеля заказов
- •2.1.3 Возможные критерии оптимальности и виды ограничений.
- •2.2 Модели оптимизации использования производственной мощности предприятия.
- •2.2.1 Модели оптимизации загрузки невзаимозаменяемого оборудования.
- •2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия
- •2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей.
- •2.3.2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов
- •2.3.3 Транспортная задача
- •2.3.3.1 Общая постановка транспортной задачи.
- •2.3.3.2 Подготовка к решению транспортной задачи вExcel.
- •2.4 Модели формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
- •2.4.1 Общие вопросы формирования портфеля ценных бумаг.
- •2.4.2 Экономико-математические модели оптимизации портфеля ценных бумаг
- •РазделIiiМодели исследования операций.
- •3.1 Модели систем массового обслуживания (смо)
- •3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания
- •3.1.2 Классификация и способы представления смо.
- •3.1.3 Потоки событий смо.
- •3.1.4 Пример простой смо.
- •3.2 Имитационное моделирование
- •3.2.1 Общие сведения о gpssw (язык имитационного моделирования gpss в среде ос windows).
- •3.2.2 Управление последовательностью выполнения программыGpss: понятие симулятора и таймера модельного времени.
- •3.2.3 Основные операторы gpssw и связанные с ними объекты.
- •3.2.4 Примеры простых моделей в gpssw.
- •3.3 Производственные функции
- •3.3.1 Понятие пф, краткая историческая справка.
- •3.3.2 Представление производственной функции.
- •3.3.3 Основные свойства и определения производственной функции
- •3.3.4 Графический анализ производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.
- •3.3.5 Основные зависимости для линейной производственной функции.
- •3.4 Экономико-математические модели управления запасами.
- •3.4.1 Понятие и классификация систем управления запасами.
- •3.4.2 Простая однономенклатурная статическая модель управления запасами.
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования.
- •4.1 Общие модели развития экономики. Балансовые методы в моделировании социально-экономических систем.
- •4.1.1 Предпосылки формирования и классификация моб
- •4.1.2 Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.
- •4.1.3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.
- •4.1.4 Свойства коэффициентов прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета.
- •4.2 Модели межотраслевого баланса в развитии
- •4.2.1 Использование статической модели межотраслевого баланса в прогнозировании цен.
- •4.2.2 Балансовые модели в задачах анализа трудовых показателей и показателей использования основных фондов.
- •4.2.3 Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •4.2.4 Межотраслевой баланс денежного оборота.
- •4.2.5 Модели межотраслевого баланса в системе национальных счетов.
- •4.3 Система моделей оптимального развития и размещения производств.
- •4.3.1 Основные положения оптимизации размещения крупных производств в регионах.
- •4.3.2 Виды моделей однопродуктовой одноэтапной задачи размещения и развития производства.
- •4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности.
- •4.3.4 Модель многоэтапной задачи развития и размещения производства.
- •4.3.5. Решение однопродуктовой многоэтапной модели задачи методом фиктивной диагонали.
- •4.3.6 Многопродуктовые задачи развития и размещения производства.
- •4.3.7 Модификации многопродуктовых задач развития и размещения производств.
- •РазделV. Экономико-математические модели социально-экономических систем
- •5.1 Математические модели анализа потребительского поведения и спроса
- •5.1.1 Анализ полезности товаров, кривые безразличия.
- •5.1.2 Решение задачи об оптимальном выборе потребителя.
- •5.2 Модели микроэкономического анализа рынка
- •5.2.1 Спрос, предложение, равновесная цена.
- •5.2.2 Моделирование процесса достижения рыночного равновесия
- •Литература
4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности.
Введение в модель задачи РРП нелинейности и дискретности (целочисленности) значительно затрудняет решение. Универсальных методов решения таких задач не существует, но часто используется приближенный метод «коэффициентов интенсивности».
Метод «коэффициентов интенсивности» основан на замене однократного решения нелинейной задачи развития и размещения производства с дискретными переменными многократным решением последовательности обычных линейных транспортных задач с дискретными переменными. Переход от одной транспортной задачи к другой осуществляется взаимосвязанным изменением мощности и соответствующих ей удельных производственных затрат для какого-либо одного пункта производства.
Таким образом, решение задачи состоит из последовательности этапов. На первом этапе решается открытая транспортная задача с неизвестными .
Ограничение (4.55) на этом этапе выглядит так:
(4.56)
где максимально возможная мощность вi-м пункте строительства.
*После распределения поставок по потребителям производится проверка целочисленности решения. Для этого для каждого i-го пункта строительства рассчитывается коэффициент интенсивности.
Коэффициент интенсивности () представляет дробь, в числителе которой сумма поставок реальным потребителям, а в знаменателе производственная мощность поставщика на данном этапе:
(4.57)
По результатам расчета коэффициент интенсивности может принимать следующие значения:
если соответствующий вариант мощности отвергается полностью;
если данный вариант мощности поставщика может быть включен в оптимальный план развития и размещения;
если смешанная строка, мощность поставщика используется не полностью, только часть продукции, произведенной вi-м пункте по k- му проекту, распределяется между реальными потребителями, часть продукции закрепляется за фиктивным потребителем.
Задача будет решена, если для всех строк будут равны 1 или 0.
При наличии смешанной строки, что свидетельствует о нецелочисленном решении, осуществляется переход к следующему этапу. Для этого из всех смешанных строк выбирается та, которой соответствует минимальное значение . Поставщика с минимальнымназывают переходным, и при переходе к следующему этапу только у этого производителя меняется мощность на ближайшее меньшее значение, что ведет к увеличению удельных затрат, а значит к уменьшению конкурентоспособности этого производителя. Решается новая транспортная задача, после чего процесс повторяется, начиная с позиции, помеченной звездочкой*.
Расчеты повторяют до получения целочисленного решения, т.е. на каком-то s-ом этапе моделирования ограничение (4.56) принимает вид
где (4.58)
(4.59)
что означает: каждый из вариантов строительства либо используется в полном объеме, либо не используется совсем.
Пример 4.4. Пусть новые предприятия по производству одинакового продукта могут быть построены в четырех пунктах А,Б,С,Д. а их продукция может поставляться в четыре пункта потребления (I, II, III и IV). Варианты мощностей предприятий и соответствующие им удельные производственные затраты представлении в табл. 4.8, а потребности и удельные транспортные затраты в табл. 4.9:
Таблица 4.8
Предприятие |
Варианты мощности (т) |
Удельные приведенные затраты, (тыс.руб/т). |
А |
300 400 |
180 170 |
В |
400 500 600 |
200 180 160 |
С |
500 600 |
170 150 |
Д |
400 500 600 |
200 180 160 |
Таблица 4.9
Поставщики |
I |
II |
III |
IV |
A |
20 |
10 |
40 |
30 |
B |
40 |
30 |
50 |
20 |
C |
20 |
30 |
60 |
40 |
D |
60 |
50 |
40 |
30 |
Мощности в каждом пункте производства могут принимать лишь отдельные дискретные значения, поэтому зависимость удельных производственных затрат от размеров мощности задана не в виде функции, а в табличном виде.
Требуется определить оптимальную мощность промышленных предприятий в пунктах строительства и рациональную схему прикрепления поставщиков к потребителям, которые обеспечивает минимум затрат.
На первом этапе данного метода в каждом пункте производства принимаются максимальные проектные мощности . Соответствующие им удельные производственные затраты построчно суммируются с транспортными. Получается схема обычной транспортной задачи (см. Табл. 4.10):
Таблица 4.10
Мощность постав-щика |
Потребители и их спрос |
Фиктивный потребитель | ||||
I - 600 |
II- 400 |
III - 400 |
1V – 200 | |||
А - 400 |
190 |
400 180 |
210 |
200 |
- 0 |
1 |
B - 600 |
200 |
190 |
210 |
200 180 |
400 0 |
0,33 |
C - 600 |
600 170 |
180 |
210 |
190 |
_ 0 |
1 |
D - 600 |
220 |
210 |
400 200 |
190 |
200 0 |
0,67 |
Решаем открытую транспортную задачу: закрепляем потребителей за поставщиками по «методу наименьших стоимостей». Для этого выбираем клетку с наименьшими затратами и заполняем ее объемом поставок - в соответствии со спросом потребителей и мощностью поставщика. Далее переходим к следующей незаполненной клетке с наименьшими затратами и заполняем таким образом всю таблицу. При этом ставится задача полного обеспечения спроса каждого из потребителей. Мощности поставщиков могут быть задействованы не полностью; неиспользуемые реальными поставками мощности проставляем в колонке «фиктивный потребитель».
Далее переходим к проверке условия целочисленности. Для этого по каждому i-му пункту строительства рассчитывается коэффициент интенсивности как отношение суммы реальных поставок к мощности, взятой на данном этапе.
Из таблицы 4.10 видно, что минимальный коэффициент интенсивности 0,33 соответствует поставщику В. Переходим к новому этапу решения задачи, изменив для строительства в пункте В мощность с 600 на 500 тонн (по данным табл. 4.8) и, соответственно, суммарные удельные затраты от этого поставщика.
Таблица 4.11
Пункты строительства |
потребители | |||||
I-600 |
II-400 |
III-400 |
IV–200 |
Фиктивный потребитель | ||
А - 400 |
-- |
400 |
|
|
|
1 |
190 |
180 |
210 |
200 |
-- | ||
В - 500 |
-- |
-- |
|
|
|
0 |
220 |
210 |
230 |
200 |
500 | ||
С - 600 |
600 |
-- |
|
|
|
1 |
170 |
180 |
210 |
190 |
-- | ||
D - 600 |
-- |
|
400 |
200 |
|
1 |
220 |
210 |
200 |
190 |
-- |
После решения второго этапа (см. таблицу 4.11) все коэффициенты интенсивности равны 0 или 1, это значит, что решение окончательное, найдено оптимальное решение: план размещения и развития включает строительство предприятий в трех пунктах: пункт А (предприятие мощностью 400 т), пункт С (предприятие мощностью 600 т), пункт Д (предприятие мощностью 600 т).
Доставка продукции будет производиться по следующим направлениям:
из пункта А второму потребителю в объеме400 т (X12=400);
из пункта С первому потребителю в объеме 600 т (X 31=600);
из пункта Д третьему потребителю в объеме 400 т (X43 =400);
четвертому потребителю в объеме 200 т (X44=200).
Общая стоимость затрат на производство и доставку продукции составит 292 млн. руб.
.