- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования 11
- •Раздел II Экономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия. 38
- •Раздел III Модели исследования операций. 90
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования. 154
- •Раздел V. Экономико-математические модели социально-экономических систем 220
- •Введение
- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования
- •1.1 Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей в управлении ими
- •1.2 Классификация экономико-математических моделей.
- •1.3 Этапы и проблемы экономико-математического моделирования.
- •1.4 Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей.
- •1.5 Сущность оптимизации социально-экономических ссистем
- •1.6 Общая структура оптимизационной модели и система обозначений.
- •1.7 Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования.
- •РазделIiЭкономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия.
- •2.1 Экономико-математические модели составления производственной программы предприятия.
- •2.1.2 Экономическая интерпретация результатов решения задачи формирования портфеля заказов
- •2.1.3 Возможные критерии оптимальности и виды ограничений.
- •2.2 Модели оптимизации использования производственной мощности предприятия.
- •2.2.1 Модели оптимизации загрузки невзаимозаменяемого оборудования.
- •2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия
- •2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей.
- •2.3.2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов
- •2.3.3 Транспортная задача
- •2.3.3.1 Общая постановка транспортной задачи.
- •2.3.3.2 Подготовка к решению транспортной задачи вExcel.
- •2.4 Модели формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
- •2.4.1 Общие вопросы формирования портфеля ценных бумаг.
- •2.4.2 Экономико-математические модели оптимизации портфеля ценных бумаг
- •РазделIiiМодели исследования операций.
- •3.1 Модели систем массового обслуживания (смо)
- •3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания
- •3.1.2 Классификация и способы представления смо.
- •3.1.3 Потоки событий смо.
- •3.1.4 Пример простой смо.
- •3.2 Имитационное моделирование
- •3.2.1 Общие сведения о gpssw (язык имитационного моделирования gpss в среде ос windows).
- •3.2.2 Управление последовательностью выполнения программыGpss: понятие симулятора и таймера модельного времени.
- •3.2.3 Основные операторы gpssw и связанные с ними объекты.
- •3.2.4 Примеры простых моделей в gpssw.
- •3.3 Производственные функции
- •3.3.1 Понятие пф, краткая историческая справка.
- •3.3.2 Представление производственной функции.
- •3.3.3 Основные свойства и определения производственной функции
- •3.3.4 Графический анализ производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.
- •3.3.5 Основные зависимости для линейной производственной функции.
- •3.4 Экономико-математические модели управления запасами.
- •3.4.1 Понятие и классификация систем управления запасами.
- •3.4.2 Простая однономенклатурная статическая модель управления запасами.
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования.
- •4.1 Общие модели развития экономики. Балансовые методы в моделировании социально-экономических систем.
- •4.1.1 Предпосылки формирования и классификация моб
- •4.1.2 Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.
- •4.1.3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.
- •4.1.4 Свойства коэффициентов прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета.
- •4.2 Модели межотраслевого баланса в развитии
- •4.2.1 Использование статической модели межотраслевого баланса в прогнозировании цен.
- •4.2.2 Балансовые модели в задачах анализа трудовых показателей и показателей использования основных фондов.
- •4.2.3 Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •4.2.4 Межотраслевой баланс денежного оборота.
- •4.2.5 Модели межотраслевого баланса в системе национальных счетов.
- •4.3 Система моделей оптимального развития и размещения производств.
- •4.3.1 Основные положения оптимизации размещения крупных производств в регионах.
- •4.3.2 Виды моделей однопродуктовой одноэтапной задачи размещения и развития производства.
- •4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности.
- •4.3.4 Модель многоэтапной задачи развития и размещения производства.
- •4.3.5. Решение однопродуктовой многоэтапной модели задачи методом фиктивной диагонали.
- •4.3.6 Многопродуктовые задачи развития и размещения производства.
- •4.3.7 Модификации многопродуктовых задач развития и размещения производств.
- •РазделV. Экономико-математические модели социально-экономических систем
- •5.1 Математические модели анализа потребительского поведения и спроса
- •5.1.1 Анализ полезности товаров, кривые безразличия.
- •5.1.2 Решение задачи об оптимальном выборе потребителя.
- •5.2 Модели микроэкономического анализа рынка
- •5.2.1 Спрос, предложение, равновесная цена.
- •5.2.2 Моделирование процесса достижения рыночного равновесия
- •Литература
3.1.3 Потоки событий смо.
Потоки случайных событий в СМО (времени появления заявки, времени простоя в очереди, времени обслуживания) могут быть различными и отличаться своими характеристиками. Основными характеристиками потоков являются: регулярность, стационарность, отсутствие последействия и ординарность.
Поток событий называется регулярным, если в нем события наступают последовательно через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Чаще встречаются нерегулярные потоки.
Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени. На практике потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени (поток покупателей в магазине меняется в течение рабочего дня, но в течение разных временных интервалов поток может рассматриваться как стационарный).
Поток событий называется потоком без последействия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой. Отсутствие последействия показывает, что последовательные события в таком потоке наступают независимо друг от друга.
Поток событий называется ординарным, если вероятность наступления за очень маленький отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. Ординарность потока означает, что события в нем за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.
В зависимости от сочетания перечисленных свойств существуют разные потоки. Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, то такой поток называется простейшим потоком событий (или пуассоновским по имени французского математика). Математическое описание воздействия такого потока на системы оказывается наиболее простым.
Чаще всего считается, что входной и выходной потоки могут быть отнесены к простейшим. Предположим, статистические наблюдения позволили получить величину λ среднего число заявок, появляющихся за единицу времени (интенсивность входного потока). Интенсивность простейшего потока постоянна в силу его стационарности. Обратная ей величина 1/ λ, — средний интервал времени между двумя соседними заявками.
λ параметр потока, может быть выражен в разных единицах:
Плотность вероятности входного потока описывается функцией:
f (t) = λ e-λτ, t≥0. (3.1)
Математическое ожидание 1/ λ, (3.2)
Дисперсия 1/ λ2, (3.3)
Среднеквадратичное отклонение 1/ λ. (3.4)
Поток с такими свойствами называется потоком с показательным (экспоненциальным) законом распределения.
Для выходного потока: среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени, является интенсивностью обслуживания ─ μ.
Обратная величина 1/ μ определяет среднее время обслуживания одной заявки.
Имеет смысл рассматривать те проекты СМО, для которых среднее время обслуживания 1/μ меньше среднего промежутка времени 1/λ между поступлением заявок, ибо в противном случае очередь будет постоянно расти. В том же случае, когда 1/μ < 1/λ, через некоторое время после начала работы система перейдет в стационарный режим.
Обозначив отношение λ/μ через р, можно показать, что стационарный режим устанавливается при р < 1. Величину р называют нагрузкой системы.
Пользуясь приведенными выше параметрами входного и выходного потоков можно определить основные показатели одноканальной системы массового обслуживания с простейшими потоками по формулам:
• коэффициент простоя системы
Е1 = 1-р, (3.5)
• среднее число заявок в системе
Е2 = p/(1-p), (3.6)
• средняя длина очереди
Е3= p2(1-p), (3.7)
• среднее время пребывания заявки в системе
Е4 =l /(μ-λ), (3.8)
• время пребывания заявки в очереди
Е5 = р/(μ-λ). (3.9)
На основе анализа значений приведенной системы показателей, характеризующих систему массового обслуживания можно сделать вывод о целесообразности выбора одного из вариантов функционирования СМО.