- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования 11
- •Раздел II Экономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия. 38
- •Раздел III Модели исследования операций. 90
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования. 154
- •Раздел V. Экономико-математические модели социально-экономических систем 220
- •Введение
- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования
- •1.1 Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей в управлении ими
- •1.2 Классификация экономико-математических моделей.
- •1.3 Этапы и проблемы экономико-математического моделирования.
- •1.4 Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей.
- •1.5 Сущность оптимизации социально-экономических ссистем
- •1.6 Общая структура оптимизационной модели и система обозначений.
- •1.7 Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования.
- •РазделIiЭкономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия.
- •2.1 Экономико-математические модели составления производственной программы предприятия.
- •2.1.2 Экономическая интерпретация результатов решения задачи формирования портфеля заказов
- •2.1.3 Возможные критерии оптимальности и виды ограничений.
- •2.2 Модели оптимизации использования производственной мощности предприятия.
- •2.2.1 Модели оптимизации загрузки невзаимозаменяемого оборудования.
- •2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия
- •2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей.
- •2.3.2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов
- •2.3.3 Транспортная задача
- •2.3.3.1 Общая постановка транспортной задачи.
- •2.3.3.2 Подготовка к решению транспортной задачи вExcel.
- •2.4 Модели формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
- •2.4.1 Общие вопросы формирования портфеля ценных бумаг.
- •2.4.2 Экономико-математические модели оптимизации портфеля ценных бумаг
- •РазделIiiМодели исследования операций.
- •3.1 Модели систем массового обслуживания (смо)
- •3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания
- •3.1.2 Классификация и способы представления смо.
- •3.1.3 Потоки событий смо.
- •3.1.4 Пример простой смо.
- •3.2 Имитационное моделирование
- •3.2.1 Общие сведения о gpssw (язык имитационного моделирования gpss в среде ос windows).
- •3.2.2 Управление последовательностью выполнения программыGpss: понятие симулятора и таймера модельного времени.
- •3.2.3 Основные операторы gpssw и связанные с ними объекты.
- •3.2.4 Примеры простых моделей в gpssw.
- •3.3 Производственные функции
- •3.3.1 Понятие пф, краткая историческая справка.
- •3.3.2 Представление производственной функции.
- •3.3.3 Основные свойства и определения производственной функции
- •3.3.4 Графический анализ производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.
- •3.3.5 Основные зависимости для линейной производственной функции.
- •3.4 Экономико-математические модели управления запасами.
- •3.4.1 Понятие и классификация систем управления запасами.
- •3.4.2 Простая однономенклатурная статическая модель управления запасами.
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования.
- •4.1 Общие модели развития экономики. Балансовые методы в моделировании социально-экономических систем.
- •4.1.1 Предпосылки формирования и классификация моб
- •4.1.2 Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.
- •4.1.3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.
- •4.1.4 Свойства коэффициентов прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета.
- •4.2 Модели межотраслевого баланса в развитии
- •4.2.1 Использование статической модели межотраслевого баланса в прогнозировании цен.
- •4.2.2 Балансовые модели в задачах анализа трудовых показателей и показателей использования основных фондов.
- •4.2.3 Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •4.2.4 Межотраслевой баланс денежного оборота.
- •4.2.5 Модели межотраслевого баланса в системе национальных счетов.
- •4.3 Система моделей оптимального развития и размещения производств.
- •4.3.1 Основные положения оптимизации размещения крупных производств в регионах.
- •4.3.2 Виды моделей однопродуктовой одноэтапной задачи размещения и развития производства.
- •4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности.
- •4.3.4 Модель многоэтапной задачи развития и размещения производства.
- •4.3.5. Решение однопродуктовой многоэтапной модели задачи методом фиктивной диагонали.
- •4.3.6 Многопродуктовые задачи развития и размещения производства.
- •4.3.7 Модификации многопродуктовых задач развития и размещения производств.
- •РазделV. Экономико-математические модели социально-экономических систем
- •5.1 Математические модели анализа потребительского поведения и спроса
- •5.1.1 Анализ полезности товаров, кривые безразличия.
- •5.1.2 Решение задачи об оптимальном выборе потребителя.
- •5.2 Модели микроэкономического анализа рынка
- •5.2.1 Спрос, предложение, равновесная цена.
- •5.2.2 Моделирование процесса достижения рыночного равновесия
- •Литература
2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия
Важнейшей частью производственного процесса на предприятии является технологическая подготовка производства (ТПП). Содержание ТПП определяется отраслевыми особенностями предприятия. На предприятиях машиностроения в подготовительных цехах, участках осуществляется подготовка заготовок из исходного материала – нарезкой, штамповкой и др., в прядильном производстве ТПП заключается в смешивании волокон для дальнейшего изготовления пряжи, в сталелитейных предприятиях ТПП это составление шихты как смеси шихтовых материалов. Во всех этих случаях стоит задача оптимизации ТПП с целью экономии материальных ресурсов при получении заданного вида заготовок или смеси с заранее определенными свойствами при минимальных затратах. К этому же типу задач мы отнесли транспортную задачу, при решении которой оптимизируется доставка груза от многочисленных поставщиков многочисленным потребителям с целью минимизации суммарных затрат на перевозки.
2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей.
В ряде производств (металлургической, пищевой, нефтеперерабатывающей отраслях промышленности) готовая продукция получается путем смешивания различных исходных компонентов (сырья), при этом качество готовой продукции должно соответствовать определенным требованиям при достижении максимального экономического эффекта.
Проблема рационального использования сырья в этих случаях может быть решена путем применения экономико-математических моделей оптимального составления смесей.
Как правило, исходные компоненты смеси взаимозаменяемы по содержанию качественных характеристик. При этом важно обеспечить соответствие готовой продукции по указанным качественным характеристикам необходимым требованиям, которые определяются стандартами и сертификатами.
Модель задачи позволяет найти такой набор компонентов смесей и их количественное соотношение, которое удовлетворяет заданным технологическим требованиям по качеству, а также требованиям принятого критерия (минимальной себестоимости или максимальной прибыли).
Задача смешивания может быть рассмотрена в натуральных единицах или в долях.
Рассмотрим задачу определения количества сырья, необходимого для получения смеси заданного объема.
На предприятии изготавливается бензин А-76, в котором содержание серы не более 0,3%, а октановое число должно быть не ниже 76.
Данные об используемых компонентах (видах сырья ─ нефтепродуктах) приведены в таблице 2.3. Требуется определить, сколько тонн каждого компонента нужно взять для получения 1000 т бензина А-76, чтобы при этом себестоимость бензина была минимальной.
Таблица 2.3
Показатель |
Компоненты автомобильного бензина (нефтепродукты) | |||
1 |
2 |
3 |
4 | |
Октановое число |
68 |
72 |
80 |
90 |
Содержание серы, % |
0,35 |
0,35 |
0,3 |
0,2 |
Ресурсы, т |
700 |
600 |
500 |
300 |
Себестоимость (ден.ед.) |
40 |
45 |
60 |
90 |
Пусть ─ оптимальные количества соответствующих компонентов, входящих в состав готовой смеси.
Математическая модель задачи представлена в (2.62)÷(2.67):
целевая функция:
(2.62)
ограничение по октановому числу:
; (2.63)
ограничение по содержанию серы:
; (2.64)
ограничение по объему готовой продукции:
; (2.65)
ограничение по имеющимся ресурсам:
(2.66)
условие неотрицательности переменных:
(2.67)
В общем виде задача формализуется следующим образом:
–индекс качественной характеристики; имеет отношение к исходным видам сырья, материалов и к готовой продукции ();
- индекс исходных компонентов смеси ();
─имеющийся объем -ой компоненты (сырья);
- содержание -той качественной характеристики в единице-го исходного компонента;
- содержание -той качественной характеристики в единице готовой смеси; длякачественных характеристик, ухудшающих качество продукции, задается верхняя граница содержания той или иной качественной характеристики, а длякачественных характеристик, улучшающих качество продукции, задается нижняя граница содержания той или иной качественной характеристики;
─имеющийся ресурс -ой компоненты;
- цена единицы - ой исходной компоненты (включая расходы на переработку);
- количество - ой исходной компоненты, которое входит в готовую смесь.
─общее количество готовой продукции, которое следует изготовить по плану.
Формализованная модель задачи оптимизации состава требуемого объема смеси представлена в (2.68) ÷ (2.72)
Целевая функция:
(2.68)
ограничения, ухудшающие качества:
(2.69)
ограничения, улучшающие качества:
(2.70)
ограничение по плану производства продукции:
(2.71)
ограничение по ресурсам:
(2.72)
Вторая разновидность смесевых задач касается оптимизации структуры готовой продукции, безотносительно к объемам. Рассмотрим пример такой задачи.
Пример 2.2. Пусть требуется изготовить некоторую единицу объема сплава, содержащего не менее 4% никеля, не более 75% железа и 20% прочих веществ. Известна стоимость различных видов сырья и процентное содержание в них соответствующих элементов (табл. 2.4)
Таблица 2.4
Вещество |
Содержание элементов для каждого вида сырья, % | ||
1 |
2 |
3 | |
Железо |
40 |
30 |
25 |
Никель |
40 |
60 |
45 |
Прочие |
20 |
10 |
30 |
Стоимость единицы сырья (ден.ед.) |
5 |
4 |
7 |
Определить оптимальную структуру сплава, при которой стоимость единицы сплава будет минимальной.
Математическая модель задачи:
(2.73)
; (2.74)
; (2.75)
(2.76)
; (2.77)
(2.78)
Экономико-математическая модель этой задачи будет включать выражения:
целевая функция:
(2.79)
ограничения на качество смеси:
(2.80)
(2.81)
ограничение по формированию структуры смеси:
. (2.82)
неотрицательность переменных:
. (2.83)
В данной задаче минимизируется стоимость единицы (кг, т и т.д.) смеси. Очевидно, что при любых объемах переработки сырья и выпуска готовой продукции, оптимальному плану будет соответствовать одна и та же структура смеси, т.е. соотношение в ней отдельных составных частей видов сырья.
Модели общего вида применяются при решении “задач о диете” – а именно задач составления оптимальных кормовых рационов, задач составления смесей минеральных удобрений, задач составления смесей нескольких химических веществ.
Более сложные модели задач смешивания составляются в тех случаях, когда в результате смешивания одних и тех же исходных компонентов могут быть получены различные виды готовой продукции. Тогда наряду с ограничениями по исходным компонентам задаются объемные ограничения по выпуску готовой продукции. Типичным примером таких моделей является модель смешивания нефтепродуктов. Рассмотрим пример постановки задачи смешивания нефтепродуктов.
Для получения готовых бензинов на установку поступают различные исходные компоненты (нефтепродукты). Оптимальный план позволяет определить, в каких количествах должны смешиваться различные исходные компоненты, чтобы различные сорта бензина (готовой продукции) выпускались в соответствии с планом и заданными по стандарту качественными характеристиками при обеспечении рентабельной работы установки.
Введем обозначения:
- индекс качественной характеристики, применяется по отношению к исходным нефтепродуктам и к сортам бензина;
- индекс исходного нефтепродукта;
k –индекс вида готового бензина, ;
- ограниченное количество j-го вида исходного нефтепродукта;
Bk – плановое задание по выпуску бензина k-го сорта,
hij – содержание i – той качественной характеристики в единице j – го исходного нефтепродукта;
Hik – содержание i - той качественной характеристики в бензине k- го вида;
Cj – цена исходного j- го нефтепродукта;
–цена бензина k - го вида.
Требуется определить Xjk – количество j–го вида исходного нефтепродукта, направляемое на получение k- го вида бензина.
Модель задачи представлена в выражениях (2.84)÷(2.88):
(2.84)
по объему ресурсов: (), (2.85)
по выпуску продукции: (), (2.86)
по качественным характеристикам:
(;) (2.87)
(;). (2.88)
Все сформулированные смесевые задачи решаются методами линейного программирования.