- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования 11
- •Раздел II Экономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия. 38
- •Раздел III Модели исследования операций. 90
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования. 154
- •Раздел V. Экономико-математические модели социально-экономических систем 220
- •Введение
- •Раздел 1. Теоретические основы экономико-математических моделей и моделирования
- •1.1 Основные свойства экономических систем и роль экономико-математических моделей в управлении ими
- •1.2 Классификация экономико-математических моделей.
- •1.3 Этапы и проблемы экономико-математического моделирования.
- •1.4 Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей.
- •1.5 Сущность оптимизации социально-экономических ссистем
- •1.6 Общая структура оптимизационной модели и система обозначений.
- •1.7 Основные этапы становления и развития школы экономико-математического моделирования.
- •РазделIiЭкономико-математические модели планирования и анализа производственно-хозяйственной деятельности предприятия.
- •2.1 Экономико-математические модели составления производственной программы предприятия.
- •2.1.2 Экономическая интерпретация результатов решения задачи формирования портфеля заказов
- •2.1.3 Возможные критерии оптимальности и виды ограничений.
- •2.2 Модели оптимизации использования производственной мощности предприятия.
- •2.2.1 Модели оптимизации загрузки невзаимозаменяемого оборудования.
- •2.3 Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия
- •2.3.1 Модели оптимизации состава промышленных смесей.
- •2.3.2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов
- •2.3.3 Транспортная задача
- •2.3.3.1 Общая постановка транспортной задачи.
- •2.3.3.2 Подготовка к решению транспортной задачи вExcel.
- •2.4 Модели формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
- •2.4.1 Общие вопросы формирования портфеля ценных бумаг.
- •2.4.2 Экономико-математические модели оптимизации портфеля ценных бумаг
- •РазделIiiМодели исследования операций.
- •3.1 Модели систем массового обслуживания (смо)
- •3.1.1 Общие сведения о системах массового обслуживания
- •3.1.2 Классификация и способы представления смо.
- •3.1.3 Потоки событий смо.
- •3.1.4 Пример простой смо.
- •3.2 Имитационное моделирование
- •3.2.1 Общие сведения о gpssw (язык имитационного моделирования gpss в среде ос windows).
- •3.2.2 Управление последовательностью выполнения программыGpss: понятие симулятора и таймера модельного времени.
- •3.2.3 Основные операторы gpssw и связанные с ними объекты.
- •3.2.4 Примеры простых моделей в gpssw.
- •3.3 Производственные функции
- •3.3.1 Понятие пф, краткая историческая справка.
- •3.3.2 Представление производственной функции.
- •3.3.3 Основные свойства и определения производственной функции
- •3.3.4 Графический анализ производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.
- •3.3.5 Основные зависимости для линейной производственной функции.
- •3.4 Экономико-математические модели управления запасами.
- •3.4.1 Понятие и классификация систем управления запасами.
- •3.4.2 Простая однономенклатурная статическая модель управления запасами.
- •Раздел IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования.
- •4.1 Общие модели развития экономики. Балансовые методы в моделировании социально-экономических систем.
- •4.1.1 Предпосылки формирования и классификация моб
- •4.1.2 Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.
- •4.1.3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.
- •4.1.4 Свойства коэффициентов прямых и полных материальных затрат, связь между ними, методы расчета.
- •4.2 Модели межотраслевого баланса в развитии
- •4.2.1 Использование статической модели межотраслевого баланса в прогнозировании цен.
- •4.2.2 Балансовые модели в задачах анализа трудовых показателей и показателей использования основных фондов.
- •4.2.3 Динамическая модель межотраслевого баланса.
- •4.2.4 Межотраслевой баланс денежного оборота.
- •4.2.5 Модели межотраслевого баланса в системе национальных счетов.
- •4.3 Система моделей оптимального развития и размещения производств.
- •4.3.1 Основные положения оптимизации размещения крупных производств в регионах.
- •4.3.2 Виды моделей однопродуктовой одноэтапной задачи размещения и развития производства.
- •4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности.
- •4.3.4 Модель многоэтапной задачи развития и размещения производства.
- •4.3.5. Решение однопродуктовой многоэтапной модели задачи методом фиктивной диагонали.
- •4.3.6 Многопродуктовые задачи развития и размещения производства.
- •4.3.7 Модификации многопродуктовых задач развития и размещения производств.
- •РазделV. Экономико-математические модели социально-экономических систем
- •5.1 Математические модели анализа потребительского поведения и спроса
- •5.1.1 Анализ полезности товаров, кривые безразличия.
- •5.1.2 Решение задачи об оптимальном выборе потребителя.
- •5.2 Модели микроэкономического анализа рынка
- •5.2.1 Спрос, предложение, равновесная цена.
- •5.2.2 Моделирование процесса достижения рыночного равновесия
- •Литература
3.1.4 Пример простой смо.
В качестве примера применения системы массового обслуживания рассмотрим задачу проектирования автозаправочной станции (АЗС).
Пример 3.1 Пусть необходимо выбрать один из нескольких вариантов строительства АЗС. Автомобили прибывают на станцию случайным образом и, если не могут быть обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина очереди: «первым пришел — первым обслужен». Предположим для простоты, что во всех вариантах рассматривается только одна бензоколонка, а вариант от варианта отличается лишь ее мощностью. Средний интервал времени между прибытием автомобилей () составляет 4 минуты и не зависит от варианта строительства.
Величина среднего времени обслуживания одного автомобиля ()зависит от выбранного варианта строительства АЭС и составляет (соответственно вариантам): 5 мин, 3,5 мин, 2 мин, 1 мин, 0,5 мин. Результаты расчетов по исследованию различных вариантов строительства АЗС по формулам (3.5 ÷3.9) сведены в табл. 3.1:
Таблица 3.1
Характеристики СМО |
Варианты строительства АЗС | |||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | ||
Среднее время прибытия одного клиента (мин) |
1/λ |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
Среднее число клиентов в единицу времени |
λ |
0,25 |
0,25 |
0,25 |
0,25 |
0,25 |
Среднее время обслуживания одного клиента (мин) |
1/μ |
5 |
3,5 |
2 |
1 |
0,5 |
Среднее количество клиентов, обслуженных в единицу времени |
μ |
0,2 |
0,29 |
0,5 |
1 |
2 |
Нагрузка системы |
р |
1,25 |
0,88 |
0,5 |
0,25 |
0,13 |
Коэффициент простоя системы |
e 1 |
-0,25 |
0,13 |
0,5 |
0,75 |
0,88 |
Среднее число клиентов в системе |
e 2 |
-5 |
7 |
1 |
0,33 |
0,14 |
Средняя длина очереди |
e з |
-6,25 |
6,13 |
0,5 |
0,08 |
0,02 |
Среднее время пребывания клиента в системе |
e 4 |
-20 |
27,48 |
4 |
1,33 |
0,57 |
Время пребывания клиента в системе |
e5 |
-25 |
24,31 |
2 |
0,33 |
0,07 |
Из анализа результатов расчетов следует.
Первый вариант строительства АЗС не годен из-за того, что очередь в этом случае будет расти до бесконечности (р>1).
Второй вариант приемлем по показателю загруженности оборудования
р = 0,88 и, следовательно, малой средней доли простоя оборудования Е1 = 0,13, но при этом варианте возникают большие очереди и, следовательно, большие средние времена простоя автомобилей Е4 ≈ 27 мин.
Третий вариант приводит к тому, что оборудование в среднем половину времени простаивает, но среднее число автомобилей в системе равно только 1, а средние потери времени равны 4 мин при среднем времени обслуживания 2 мин.
В остальных вариантах очереди практически нет, но большую часть времени оборудование простаивает, поэтому эти варианты целесообразно отбросить как неэффективные.
Окончательный выбор варианта проекта АЗС, очевидно, принадлежит лицу, принимающему решение (ЛПР), но предварительная рекомендация по результатам анализа может состоять в предложении третьего варианта, если исходить из того, что наблюдается постоянная тенденция роста автомобильного парка в стране.
Методы анализа СМО (простые, как приведено выше, и гораздо более сложные) широко применяются на практике для стационарных режимов работы системы. Кроме этого в этих моделях СМО предполагается воздействие на СМО только простейших потоков случайных событий. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, исследование СМО сильно усложняется или становится вообще невозможным с применением конечных методов. В этом случае для анализа сложной системы приходится пользоваться методом имитационного моделирования.
Вопросы по теме
Каковы основные составляющие систем массового обслуживания? Каковы могут быть устройства блоков обслуживания?
Каковы могут быть порядки обслуживания очередей?
Какими показателями характеризуются системы массового обслуживания?
Как определяются основные показатели, характеризующие СМО, для случая экспоненциальных распределений вероятностей поступления заявок и вероятностей времени их обслуживания?
Приведите примеры систем, в которых появление заявки на обслуживание является случайной величиной.
Приведите примеры систем, в которых время обслуживания (продолжительность обслуживания) заявки является случайной величиной.