35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция у = f(x) определена па отрезке¹ [а: /;], а < Ь. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек Xq = a, ад, х?. ■ ■ ■, х_п — Ь (го < Х\ < ■ ■ ■ < х_п) разо­ бьем отрезок [а, Ь] на п частичных отрезков [.т₀; x_t], [х\: х?] [.r„_ i. х,,]

(см. рис. 167).

Cl С2 <-'_г С„ X

-\ 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • i —

1> = х„

Я\-1 Х\

О а = хо х\ х-2

Рис. 167.

2. В каждом частичном отрезке [x;_i :./•,]. /' = 1.2 п выберем про­извольную точку а 6 [.т,-_];.£,■] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину /(с,).

3. Умножим найденное значение функции /(с,) на длину Ах, =х, — х,-\ соответствующего частичного отрезка: /(с,) ■ Л.г,.

2. Составим сумму S_n всех таких произведении:

S„ = /(гОДзг! + f(c-₂)Ax₂ + ■■■ + f(c„)Ax_n = ]Г /МЛ.г,.

(33.1)

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции // = = f(x) на отрезке [а;Ь]. Обозначим через Л длину наибольшего частичного отрезка: Л = max Д.г;, (/' = 1,2,..., //,).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1). кшда п -» ^с чак. что Л -» 0.

Если при этом интегральная сумма Я„ имеет предел /. который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а:Ь] на час! 'пчпыо отрезки, пи oi

выбора точек в них. то число / называется определенным интегралом

it

от функции у — f(x) на отрезке [а; b] и обозначается / /(./;) с/.г. Таким

ь	п
1 fix) dx =	,иш j: ко)а,,,
а	(А-+0) 1=1

<i образом,

ь п

(35.2)

Числа а иЬ называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией. f(x) <1х по­дынтегральным выражением, х переменной интегрирования. отрезок [а; Ь] — областью (отрезком) интегрирования.

221

Ф ункция у = f(x), для которой на отрезке [а; Ь] существует определен-ь

ный интеграч / f(x) dx, называется интегрируемой на этом отрезке.

а

Сформулируем теперь теорему существования определенного интегра­ла.

Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то

ь

определенный интеграл / f(x) dx существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным услови­ем ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существо­вать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой огра­ниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек раз­рыва.

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредствен­но вытекающие из его определения (35.2).

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменней! ин­ тегрирования:

ъ ь ь

Jf(x)dx = Jf{t)dt = Jf(z)dz.

а а а

Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно. и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумеш данной функции.

2. Определенный интеграт с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

а

I f(x)dx = 0.

а

Ь

3. Для любого действительного числа с: / cdx = г ■ (Ь — а).