§39. Вычисления определенного интеграла

39.1. Формула Ньютона-Лейбница

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла ь

/ /(.г) dx от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:

а

Ь

I f(x)dx = F(x)\"_a=F(b)-F(u).

а

Прчменяетгя --этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции f(x).

п

Например. I Hinxdx = — eosj-L = — (cosтг — cosO) = 2.

6 При вычислении определенных интегралов широко используется ме­тод замены переменной и метод интегрирования но частям.

39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

ь Пусть для вычисления интеграла / f(x)dx от непрерывной функции

а

сделана подстановка х = <p(t).

Теорема 39.1.

Если:

1) функция J" =

- if(t) и ее

производна?

^ х1 = <p'(t)

непрерывны

при

t e

[«;£];

2) множеством

значений

функции х -

- ip(t) при t €

[n,0] является

от|

эезок

a: b};

3) у>(«) = а и <г(;1) = Ь,

то

ь

,i

1 /М dx =

//(*>(*))

<p

(t) dt.

(39

1)

а

a

230

[j Пугть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [а; Ь]. Тогда по

ь

формуле Ньютона Лейбница / f(x)dx = F(b) — F(a). Так как (F(<p(t))' =

а

- /(г(0) • ^'(0- ^го F(^p(t)) является первообразной для функции /(уг(0) • ^'(')' f € [«;/■?]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

/" 1Ш) ■ J(t)dt = F(_Y~(t))\³_Q = F(<p(p)) - F(tp{a)) =

= F

и

(b)-F(a) = J f(x)dx.

Формула (39.1) называемся формулой замены пере иенпой в определен­ном интеграле. Отмепш, что:

1. при вычислении определенного интеграта методом подстановки воз­вращаться к старой церемонной не требуется;

1. час го вместо подстановки х = ip(t) применяют подстановку t = g(x):

2. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Пример 39.1. Вычистить / х'\/А — х- dx.

О Решение: Положим х — 2 sin t, тогда dx = 2 co.s t dt. Ес.ти x = 0. то t = 0: если x — 2, то t = :^. Полому

ixl-i

I х- y^rA^V¹ dx = I Л Hurt \A-4mr~t ■ 2 cos t dt =

и о

тг/2 тг/2 л/2

= 10 / sin-Vcos'-ff// = 16 I -sin'-'2ffft = 4 /" -(1 - cos4i) dt =

о 0 (I

^('Г-г"-<²) = ²(| -») = '■