- •Формула Ньютона-Лейбница 230
- •§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 272
- •§ 46. Экстремум функции двух переменных 274
- •Основные понятия 274
- •Глава VII. Неопределенный интеграл
- •§29. Неопределенный интеграл 29.1. Понятие неопределенного интеграла
- •29.2. Свойства неопределенного интеграла
- •29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •§30. Основные методы интегрирования 30.1. Метод непосредственного интегрирования
- •30.3. Метод интегрирования по частям
- •§31. Интегрирование рациональных функции 31.1. Понятия о рациональных функциях
- •31.3. Интегрирование рациональных дробей
- •§32. Интегрирование тригонометрических функции 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •32.3. Использование тригонометрических преобразований
- •§33. Интегрирование иррациональных функций 33.1. Квадратичные иррациональности
- •33.2. Дробно-линейная подстановка
- •33.3. Тригонометрическая подстановка
- •33.5. Интегрирование дифференциального бинома
- •§34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
- •35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •§36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •§37. Формула ньютона-лейбница
- •§38. Основные свойства определенного интеграла
- •§39. Вычисления определенного интеграла
- •39.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •39.3. Интегрирование по частям
- •§40. Несобственные интегралы
- •40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •§41. Геометрические и физические приложения
- •41.2. Вычисление площадей плоских фигур
- •41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •41.4. Вычисление объема тела
- •41.6. Механические приложения определенного интеграла
- •§42. Приближенное вычисление определенного
- •42.1. Формула прямоугольников
- •42.2. Формула трапеций
- •42.3. Формула парабол (Симпсона)
- •Глава IX. Функции нескольких переменных Лекции 34-36 I
- •§43. Функции двух переменных 43.1. Основные понятия
- •43.2. Предел функции
- •43.3. Непрерывность функции двух переменных
- •§44. Производные и дифференциалы функции
- •44.2. Частные производные высших порядков
- •44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
- •44.5. Дифференциалы высших порядков
- •44.6. Производная сложной функции. Полная производная
- •44.7. Инвариантность формы полного дифференциала
- •44.8. Дифференцирование неявной функции
- •§45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§46. Экстремум функции двух переменных 46.1. Основные понятия
- •46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
- •46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •143200, Г. Можайск, ул. Мира, 93
- •Концепции современного естествознания. Конспект лекций
- •Сборник задач по высшей математике
- •1 И2 части
- •Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
- •Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
30.3. Метод интегрирования по частям
Пусть и = и(х) и v = v(x) — функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = и ■ dv + v ■ du. Интегрируя это равенство, получим
/ d(uc) = udv + / v dv или / udv = uv — / vdu.
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла / и dv к вычислению интеграла / vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и da (это, как правило, можно осуществить несколькими способами): затем, после нахождения v и du. используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегратов, которые удобно вычисли i ь методом интегрирования по частям.
1. Интегралы вида / P(x)el'r dx, I Р{х) -sin кх dx. I P(.r)coskxd.r. где
Р{х) многочлен, к — число. Удобно положить а = Р(х), а за dv обозначить все остальные сомножители.
2. Интегралы вида / P(x)wsm.xdx, I Р(х) arccos.rr/.r. / P(x)lnx dx,
/ Р(х) arctgxdx, / Р(х) arcctg зч/.с. Удобно положить Р(х) dx — dv, а. за и
обозначить остальные сомножители.
3. Интсграчы вида / е'и -ambxdx. I с"3' ■ coshxdx. где а и h числа.
За и можно принять функцию и = с"х.
Пример 30.6. Найти (2х + 1)<Лг dx.
и — 2х + 1 dv = г3' dx
du — 2dx
(можно по-
О Решение: Пусть
v = J с3* ,lx = ±e3r
ложить С = 0). Следовательно, но формуле интегрирования но частям:
2 ,
+ C.
J(2x+l)e^dx = (2,:+ 1) • l'*x-f \<>3r2dx = l-(2x + l)03' Пример 30.7. Найти \nxdx.
и —
In
x
dv
— dx
du =
— dx
x
Поэтому
dv
/ In х dx = х ■ In x — / x ■ - dx = x ■ In x — x + С
С.
202
и = аг
dv =
ех
dx
du = 2х dx
v = ех
Поэтому
/ х2ех dx = х2ех — 2 ех ■ х dx.
(30.2)
Для вычисления интеграла / e'xdx снова применим метод интегрирования по частям: и = х, dv = ех dx =$ du = rf.r, v = ex. Значит,
/ ex ■ x dx = x ■ t"r - Г e* dx = x ■ ex - ex + С (30.3)
Поэтому (см. (30.2)) f x2ex dx = x2ex - 2(x ■ ex - ex + C). •
Пример 30.9. Найти / axctgx d.r.
и — arctg x ==> du
- dx
1 + .Г
Поэтому
V = x
dv = dx
J arctg
г x , 1 td(l + .r)
x dx = x ■ arctg x - / dx = x ■ arctg x / — =
./ 1 + x- 2 J 1 + x-
■= x arctg :?• - - hi(l + x2) + C.
§31. Интегрирование рациональных функции 31.1. Понятия о рациональных функциях
Многочлен (некоторые сведения справочного характера)
Функция вида
Рп{г.) = а0х" + ai:r"~ ' Н Ь «,,-i.r + а„.
(31.1)
* * »
где п - натуральное число, а, (/' = 0,1...., п) постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число и называется степенью многочлена.
Корнем многочлена (31.1) называется такое значение xq (вообще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается и нуль, т. е. Рп(хо) = 0.
Теорема 31.1. Если хх есть корень многочлена Рп(х) |
то многочлен делится без |
остатка на х — х\, т. е. Рп(х) = (j-.c,)-Pn_,(a-). |
(31-2) |
где Pn-i(x) — многочлен степени (п — 1). |
|
203
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положительный ответ на чтот вопрос дает следующее утверждение1.
Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ?<-й степени (п > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители.
Теорема 31.3. Всякий многочлен Р„(х) можно представить в виде
Рп(х) = а0(х - х,)(х - .,;,)... (х - хп). (31.3)
где X], Го.. ...хп — корни многочлена, о0 — коэффициент многочлена при х".
LJ Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обозначим его через т,\. Тогда имеет место соотношение (31.2). А гак как P„_i(:r) — также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х->-Тогда Р„._[(.г) = (х — х2) • Р„--2(х), где P,i-->(x) многочлен (и - 2)-ii степени. Следовательно, Р„(х) — (х — х\ ){х — х->,)Рп -•_>(•';). П1ю;юлжая этот процесс, получим в итоге:
Р„(т) = а0(х - :п )(.г - j-a) ■ ■ • (■<• - ■?„)■ ■
Множите, in (.г —.г,-) в равенстве (31.3) называются линейными множителями.
Пример 31.1. Разложить многочлен Р-л{х) = хЛ — 2.г~ — х + 2 па множители.
Q Решение: Многочлен /"'*(.?■) — хл - 2х~ — х + 2 обращается в нуль при х = -1..г = 1,х -- 2. Следовательно..r3-2./---.r+2 = (:r-f l)(.r-l)(.r-2). •
Пример 31.2. Представить выражение х' — х2 + 4,г — 4 в виде произведения линейных множителей.
Q Решение: Легко проверить, что хл — х2+4х — 4 = (х — 1)(.т — 2/')(.г + 2/). •
Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретился к раз. то он называется корнем кратности к. 13 случае к = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется простым.
Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде
Рп(х) = а0(х - л)*1 • (х - х->)^ ... (.,: - .г,.)*"' ■ (31.4)
если корень Х\ имеет кратность к[. корень х> - кратность A:L> и так далее. При чтом к\ + к-2 + f к,- = п. а г -- чисто различных корней.
204
Например, разложение
Р»(х) = (х - Щх + 1)(х - 4)(эт - 3)(эт - 3)эт(эт - 4)(а- - 3) можно записать так:
Р6(х) = (х- З)4 • (х + 1) • {х - 4)2 • х. Пользуясь теоремой 31.3, можно,доказать следующие утверждения.
Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х) = а$хп + а\хп 1 + ■ ■ ■ + ап тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Например, если ах3 + Ьх2 + сх + d — хл — Зх2 + 1, то а = 1. Ь = —3, с = 0, d = 1.
Теорема 31.6. Если многочлен Рп(х) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень а + ib, то он имеет и сопряженный корень а — ib.
В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители
(х - (а + ib)) ■ (х - (а - ib)),
получим трехчлен второй степени с, действительными коэффициентами х2 + рх + q. В самом деле.
(:;; - (а + ib))(x - (а - ib)) = ((х - а) - ib)((x - а) + ib) =
= (.т - а]2 + /г — х2 - Чах + о2 + Ь2 = х2 + рх + д.
где р = —2а, q — а2 + Ь'2.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.
С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.
Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. многочлен Р„(х) можно представить в виде
Рп(х) = ац(х - J4)*1 (а- - *2)*2 ...(х- xr)k' х
х (х2 +pix + qi)si ... {х2 + ртх + qm)Sm . (31.5)
При этом ki + к2 + ■ ■ ■ + кг + 2(si + s2 + • • • + sm) = п, все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней.
•205
Примеры разложений (31.5):
х4 -1 = (х-1)(х+ 1)(.т2 + 1):
ж3 - 16а; = ж(а;2 - 16) = .т(.т - 4)(.т + 4);
х5 - 6а-4 + 9а-3 - х1 + 6х - 9 = .г3 (.г2 - 6.т + 9) - (а:2 - б.т + 9) = (ж2 - 6ж + 9)(ж3 - 1) = (а- - З)2 • (а- - 1){х2 + х + 1).
Дробно-рациональная функция
О
Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)
называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. /(.г) =
Р (х) = nm)
'(
, где Р,п(х)
— многочлен степени
т, а (?„(х) - многочлен сге-
пени п.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. т < п; в противном случае (если т ^ п) рациональная дробь называется неправильной.
р(х) Всякую неправильную
рациональную дробь „"'
момсно, пу-
тем деления числителя на знаменатель, представить в виде
суммы многочлена L{x)
и правильной
рациональной дроби ,-{,,"!.,
m = L(r) + iM
Q(x) ["' + Q(x)-
тт Р(х) х4 - 5т 4- 9 ^ -п
Например, -тут—f
= -—
_ .->
- неправильная рациональная дробь.
Разделим числитель на знаменатель
в столбик:
х-2
х4 -5а;+9
х> + 2.т- + 4.т -I- 3
х4 - 2хЛ
_ 2х3 - 5т + 9
2хл - Ах2
4;г2 4.г2 |
-5л:+ 9 -8т |
|
Зт + 9 За; - 6 |
15.
Получим частное L(r)
= х3
+ 2т2
+ 4т
+ 3 и остаток Щх) — 15.
Следова
тельно, х
~ 5хл+
9
= х'л
+ 2х2
+ 4т + 3 + -^Ц.
х
— 2 т
— 2
Правильные рациональные дроби вида
(I)- -^-;
4 ' х — а
(II). -^—F (А; £ 2, А- £ N): (а: - а)
(III). о
Х
+
(корни знаменателя комплексные, т. с.
р- — 4q
< 0);
а; +рх + q
(IV). —9
' х
"I" г
(fc ^
2, корни знаменателя комплексные),
(х~ +px + q)
где Л, ы, М, N, р, q ---- действительные числа, называются простейшими
рациональными дробями I, II, III и IV типов.
206
Р(х) Теорема 31.8. Всякую правильную рациональную дробь п) I, знаменатель кото-
рой разложен на множители
Q(x) = (а: - xi)fcl • (х - х2)к2 ... (х2 +р!-х + qi)si ...(х2 +Р,„х + qm)Sm ,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
:М = _^_ + А2 +...+ -^ + Q(.r) х -xi {х - хху (х - xi )*■•>
в, в2 вкч
+ + - Г7 + --- + 7 ~~Тк7+---
X — Х-2 (X — Х-2)" (X — Х-2) 2
dx + Di C2X + D.2 Cs,x + De,
ж2 + pii + gi (ж2 + pix + qi )2 (.г2 + рьт + (h )">
, Мц + М Л/21 + ^2 , , MSm.c + iVSm
■ " ' Н о г Т^ 7Т + ' ' ' + 7~~> ч 1 (oi.DJ
х- + ртх + qm (х2 + ртх + qm)- (х- + ртх + </,„)*'"•
где А[, А-2, ■ • •, В\, В2, ..., С\, D\ М\, Nlt ... — некоторые действительные
коэффициенты.
■ • ■ Н—г- : Н , о . : 77 + • ■ ■ +
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: х2 + 4 А В С D
1) 7 zr, ^ = т: + :: + 7 ^ +
{х-2)(х-3)3 х-2 j-З (х-3)~ (.т-3)3' х3 +1 _ Л _В С ж + D
' ' х2{х? + 1) ~ ж + х2 + ж2 + 1 '
7х2+8ж + 9 Л В Cx + L> Mx + N
3) 7 ТТТ; ^77-^ ГТТ7 = 7 + —-77 + -Г" 7^ +
(а:-1)(ж-2)(ж2+ж + 1)2 .л - 1 х-2 х2+х+1 (х2+х+1)2' Для нахождения неопределенных коэффициентов А\ ,А->..... В\ ,/?•_>,... в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания коэффициентов. Суть метода такова:
1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменателю
/v х рН S{x) ' ,
Q(x); в
результате получим тождество ,Л
, = ,Л
'. где
Ь(х) мпого-
v
' •' (Дж)
СДж)
член с неопределенными коэффициентами.
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождествен но равны и числители, т. е.
P(x) = S(x). (31.7)
3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (но теоре ме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7), полу чим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэф фициенты А\, .4.2,..., В\,...
Пример 31.3. Представить
дробь J
""".,•"•
Г
—— в виде суммы
(х - 1)(ж~ — 2а: + о)
простейших дробей.
'207
О Решение: Согласно теореме 31.8 имеем:
2х2 - За- - 3 Л Вх + С
(х - 1) (ж- - 2.г + 5) .г - 1 х- - 2х + 5'
Т' е' 2а-2 - Зт - 3 _ Л(х2 - 2j + 5) + (j - 1)(&г + С)
(:г-1)(х2-2.Г + 5) ~ " "(х- 1)(х2 - 2х + о) Отсюда следует
2.т2 - За; - 3 ее Ах'2 - 2Ах + 5.4 + Б.г-2 - Вх + Сх - С.
2х2 - З.г - 3 а (А + В)х2 + (-2.4 - В + С)х + (5.4 - С). Приравнивая коэффициенты при х2. а-1. я:0, получаем
'2 = А + В. -3 = -2.4 - В + С. -3 = 5.4 - С. Решая систему, находим, что .4 = — 1. В = 3, С = —2. Следовательно.
2х2 - 3.;: - 3 -1 З.г - 2
+
(х - 1){х2 - 2.г + 5) х - 1 ,г2 - 2х + 5'
Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также мегпгн) отдельных значений аргумента: после получения юждоетва (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько рач. сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо .г значения лействп-тельных корней многочлена (}{х)).
Пример 31.Jh
Представить дробь
—, ои
—ГТ " ии;1('
еум.мы простейших д]К)оей.
О Решение: Имеем: —.—~гп~^—гт = — Н „ Н ^—г. Отсюда следует
х\х — 2){х + 1) х х — 2 х + 1
З.г - 4 ее А{х - 2)(j: + 1) + Вх(х + 1) + Сх(х - 2).
Положим .г = 0. тогда —4 = —2.4, т. е. .4 = 2: положим х = 2. тогда 2 = (SB. т. е. В = ^: ИО.ТОЖИМ .г = -1, тогда — 7 = ЗС, i. е. С = —4т. Следовательно,
За- — 4 2 тт - ~ _
- + —^-т + — - •
:г(.г - 2)(.г + 1) а: .г - 2 а; + Г
Интегрирование простейших рациональных дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
1. / —^i— rfj; = / -^- '- — А ■ In I.?- - а\ + С (формула (2) таблицы
,/ х — a J а; - а
пнтегратов);
2- / (7^7*" = А ■ /(х' -я)" *rf('"rt) = Л ■ ^^ттт1 + с (фор"
мула (1));
20«
3. Рассмотрим
интеграл J
= .;
,г
+
—
dx.
J х" + рх + q
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:
т г Mx + N
J = ах,
J (x + l)?+q-^
2
причем q — *-т- > 0. Сделаем подстановку х -\- ± = t. Тогда х = t — ~. 4 z 2
2
г/.г — r/f. Положим q - V = а2- Следовательно, используя формулы (2)
и (15) таблицы интегралов, получаем
. г Mx + N , г M(t -D + N
■J = / —, dx = / ——. dt —
.1 x1 + рх + q J t2 + a2
»iwh+(»-l-£)!
f2 + a2
_ M
~ T
i. е.. возвращаясь к переменно!] x,
, /■ Mx + N , Л/, , 2 ч N - Ц* x+'i
■J =
/ — dx =
— In (x2
+ px
+ q) + -. •
arctg z
+ С
J->--+Px+q 2 rzz rrz
\n(t2 +a')+ (N - ^) ■-B.rctg- +C\ \ 2 I a a
dt
Пример 31.5. Hail in / —%
+ 2.Г
+ 103-'-
+ 1
dx.
Q Решение: x2 + 2x + 10 = (x + l)2 + 9. Сделаем подсгановку x + 1 = t. Тогда x = t — 1, dx = r/( и
3.r+ 1 , /■ 3(f- 1) + 1 , n r tdt n r dt
J x1 + 2x + 10 ./ *-' + 9 ./ £-' + 9 У f-' + 9
= * Ht2 + 9) - ^ arctg | + С = | ln(./-- + 2.r + 10) - ^ arctg ^±1 + С
4
(.с" + ;ле + q biii интеграл подстановкой . lerpa. юв:
A I'll . /V jV7^ /" df •> P*
4. Вычисление
интеграла вида / —.,
J'
~*~J г
dx. к
^ 2,
q —
L— >
0.
Данный интеграл подстановкой x + ~ = t сводится к сумме двух ин- ,, i 1(1{ /„ Мр\ г dt
J (.с- + ш: + o 4
{f-+a2)h V 2 JJ (f2
Первый интеграл легко вычисляется:
/
га
= У"'+■''-'
*'+»-'»=
эд-Ц(,'+^-+
с
Вычислим второй интеграл: _ /■ dt _ 1 г^+«2)-^
2>*-' / (f2 +r/2)0 ~ а2 Г*'1 / (j2 +a2)')- (31i
(f2+«2)* a2./ (t2+a2)A' ^l/ (pTn2)*-1 J{t*+a2)kJ d2V~l J(f2+a2)
209
К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положим
tdt
и = t. dv = — ——, du = dt,
{t2 + a2)k
1
v=lf(t2+a2r*d(t2+a2) = —-
2(l-Jt)(t2 + a2)*-1' тогда
r t2dt t 1 r dt
j (p + a2)k " 2(1-k)(t'2 + a2)*'"1 ~ 2(1 -k) J (/2+«2)*-1
t 1
Л-
2{\ - k){t2 + a2)k'-1 2(1 -k) Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем
Jk = ^J (Л-1 - 2(1 -jfc)(^2+„2)4-1 + ЦГ^Т)'1"-^
т-е' 1 /2А;- 3 , t
Л = -7 ^ ^Л-1 +
а2 \2k-2 " 2(k-l)(t2+a2)k-\
Полученная формула дает возможность найти интеграл Л- для любого натурального числа к > 1.
Пример 31. б. Найти
интеграл J-j
= / j
■;.
Q Решение:
Здесь а = 1,
А: = 3. Так как
то
/' df - 2'2 ~3 * _ I *
2 ~ J JFTlj2 ~ 2 • 2 - 2 + 2 • (2 - 1)(*2 + 1) ~ 2 airtg' + 2(f2 + 1)
3 т t t 3/1 г \ _, _