33.2. Дробно-линейная подстановка

сх +1 а 6_

Интегралы типа jr(x, (|ff|)^ ■ ■ ■, (^)^) ^- '^ «• '>■ <", г/ действительные числа, а,0,..., 5, у — натуральные чиста, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки ~ 'J I = t^1,

где. к наименьшее общее кратное, знаменателей дробей

Действительно, из подстановки ^ах "г , = t^k' следует, что х = _к

сх + d - _cf - _я

-dkt^k~^x (rt^h -a)-(b- dt^k)ckt^k-^l (c? - a)'²

«.r = ^s —p \д - at, т. е. x и cu- выражаются через

216

рлмпонн. :ьнь:<- функции or I. При згом а "- "■ • -j«*^* Jf**m ~* -j i ныражасн'я че]>ез рациональнуюфунжшпоот t.

Пример 33.4- Найти интеграл / = / ., , _

Q Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей 4 и ^ ecu, G.

Поэтому полагаем х + 2 = t⁶, х — t⁶ - 2, dx = Qt° dt. t = ⁽\/x~+~2. С. юдона-телыю,

₇ r^ _{= 6},f* ₆/(*²-l) + l_d,₌

J t⁴ -t³ J t - l У it - l

= 6 /Yr + 1 + -^—) Л = 3*^a + 6f + Gin |/ - 1| + С =

= 3 • V7+2 + 6 • Vi~T2 + G In | ViT+2 - 1| + С •

Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов: Гх — 1 , „ г ч /.г + 1 (if

/,

⁼ l2Jx^c^dX> ^h=f

2ф,-х ' J \lx-l (l~.r)²'

О Решение: Для /j подстановка у = t², для /о подстановка "т~| ⁼ ' '■ ^

33.3. Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа [Я{.т: Vn²-x²)dx, [Щх; ^a²+x²)dx. I' 1Ц.г. y/x^J^7r)dx

приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих or ipii-гонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х = а ■ sin t для первого интеграла; .г = о -tgl для втрого интеграла: х = —А-г для третьего интеграла.

Приме]) 33.в. Найти интеграл I =

\/\-х-

dx

О Решение: Положим х = 2sinf, dx — 2co*tdt. t —- arcsin i. Toi ла

r V 4 ^— 4 sin² r „ , /-4 cos² i ,

/ = / r, 2 cos t dt = / «- Л

/ 4sin"( i 4 sin² /:

1 - sin² t , /■ dt

/ - . ■. dt = / —^- - dt = - ctgf -- f + Г ..' sin" f 7 sur £ 7

x / . x\ .. . x \JA - .с-

2 x~~

= С — arcsin — — erg (arcsin — J = С — arcsin —

/* vT^sin²r уГ-(^)² vT^4

217

33.4. Интегралы типа /R(x; \/ах² + bx + c)dx

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относи­тельно х и л/ах² + Ьх + с. Выделив под радикалом полный квадрат и сде­лав подстановку х+ ■§- — t, интегралы указанного типа приводятся к инте­гралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам типа / R(t\ \/d² — t'²) dt,

/ R(t; Va² + t²) dt, I R(t\ \/t² — a²) dt. Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

|\| Пример 33.7. Найти интеграл I — /

{х + 1У

Q Решение: Так как х² + 2х — 4 = (х + I)² — 5, то х + 1 = t, х — t — 1

dx = dt. Поэтому I = f V*², ⁵ dt. Положим t = -¥-£-,

J f³ SHU''

dt= -Vo-cos^_rf2i sin" z

z = arcsin -^. Тогда

₇ /■ V П^7 ⁵ (-VE)cosz 1 r ₂ ,

7 = / - ■ r, dz = ■= / cos zdz =

J a£L _Si_n²~ У57

sin° С

-^.-/(1 ₊ со_в2г)_йг=-^(г₊-8ш_2г)₊<7 =

\/5/ . у/Ь 1 . /„ . y/b\\ _

= arcsin 1— sin 2 arcsin — + С =

10 V t 2 V f //

х/5/ . \/5 1 . / . \/E \\

arcsin + - sin 2 arcsin + С =

10 V x + 1 2 V ж+1

= - —- arcsin н -

10 V x+1 (a; + 1

\/5 / . VE VE • л/х² + 2а:-4\ ^,

arcsin н —r + С.

V x+1 (з; + 1)² /

V x +1 2 V x+in

Замечание: Интеграл типа / —, ^г целее

•I хуах² +Ьх + с.

оооразно находить ^J х\/ах* + Ьх + с

с помощью подстановки х = j.