44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция z = /(ж; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Дг = f(x + Ах;у + Ау) - f(x; у).

■=>

Функция г = f(x; у) называется дифференцируемой в точке М(х:у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Дг = А ■ Ах + В ■ Ау + а ■ Ах + в ■ Ау. (44.1)

где а = а(Ах, Ау) ->■ 0 и /3 = /3(Ах, Ау) ->■ 0 при Ах ->■ 0, Ау ->■ 0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z = f(x; у), линейная относитель­но Ах и Ау, называется полным дифференциалом этой функции и обозна­чается символом dz:

dz = А ■ Ах + В ■ Ау. (44.2)

Выражения А ■ Ах и В ■ Ау называют частными дифференциалами.. Для независимых переменных х и у полагают Ах = dx и Ay = dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz = A-dx + B ■ dy. (44.3)

Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = f(x;y) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные тр- и $р, причем Ц~ — А, §г~ = В.

266

Q Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равен­ство (44.1). Отсюда вытекает, что lim Дг = 0. Это означает, что функция

Ах —>0

Дг/->о непрерывна в точке М. Положив Ау = 0, Ах ф 0 в равенстве (44.1), по-

лучим: А_хг = А ■ Ах + а ■ Ах. Отсюда находим -т^~ — А + а. Переходя

к пределу при Ах -+ 0, получим lim —^ — А, т. е. ^~ = А. Таким

Ах-уо Ах ах

образом, в точке М существует частная производная f_x{x;y) = А. Ана­логично доказывается, что в точке М существует частная производная

Равенство (44.1) можно записать в виде

3z dz

Az= — Ах + —Ау + ~/, (44.4)

ox ay

где 7 = a ■ Ax + /i • Ay -»■ 0 при Д.с ->■ 0, Д;</ -+ 0.

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции пли существования частных производных не следует дифферен-цируемость функции. Так, непрерывная функция г = \[х'² + у'² не диф­ференцируема в точке (0:0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

dz dz

dz - — dx + — dy

(44.5)

dz = dj.z +d_yz,

где d_xz = Q^dx, d_yz = Яг- dy — частные дифференциалы функции

Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если

функция z = f(x; у) имеет непрерывные частные производные z\. и z' в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выра­жается формулой (44.5).

Примем теорему без доказательства.

Отметим, что для функции у = f(x) одной переменной существование производной f'(x) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z = f{x;y) была дифференцируема в точке, необхо­димо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

267