29.2. Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль­ ному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подын­ тегральной функции:

d[j f(x) dx) = /(г) dx, (/' fix) dx)' = /(r).

Q Действительно,

d(f /(:r) dx) = d(F(x) + C) = dF(x) + d{C) = F'(x) dx = f(x) dx

(j.f(x)dx^'= (F(x)+CY = F'(x)+Q = f(x). Ш

Благодаря этому свойству 'правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство

|(3х² + 4) dx = х'³ + 4.т + С

верно, так как (х³ + 1х + С)' = З.т² + 4.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

JdF(x) =F(x) + C.

194

□ Действительно, f dF(x) = Г F'(x) dx = Г f(x) dx = F(x) +C. Ш

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

/ af(x) dx = a- I f(x) dx, а ф 0 — постоянная. Q Действительно,

f af(x)dx = [ aF'{x)dx = f(aF(x))'dx = f d(aF(x)) =

= a ■ F(x) + Ci=a- (f(x) + —) = a(F(x) + C) = a f f(x) dx

( по. южпли -^- = С I. I

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного чи­ ст непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от c.iaiacMbix функций:

j\f(x) ± д(х)) dx = J f(x) dx± I g(x) dx.

□ Пусть F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда f (fix) ± g(x))dx = j(F'(x) ± G'(x)) dx =

= [{F(r)±G{x))'&r= fd{F(x)±G(x)) = F(x)±G{x)+C =

= (F(x) + c\) ± (G(x) + C₂) = J f(x) dx ± fg(x) dx,

где С*, ± C-> =C. ■

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если f(x)dx =

= F(x) + С. то и / f(n)du = F(u) + С, где и — ^р(х) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Q Пусть .с независимая переменная, /(.г) -- непрерывная функция и F{x) ее первообразная. Тогда / f(x)dx — F(x) + С. Положим теперь

ч ~- -р{х), где ip(x) непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмо­трим ('/южную функцию F(u) = F(<p(x)). В силу инвариантности формы первого дифференциала функции (см. с. 160) имеем

dF(u) = F'(u)du = f(u)du.

Отсюда Г f(u) du = Г d(F(u)) = F(it.) + C. Ш

Таким образом, формула для неопределенного интеграла оста­ется справедливой независимо от того, является ли переменная интегри­рования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

195

Так, из формулы х² dx = Щг- + С путем замены х на и (и = ^(а^-))

/з и'² du = Цу- + С. В частности,

/* ■ 2 л ■ \ ^{sin3 х} п / sin х ащпх) = h С ,

fln²xd(lnx) = ^ + С,

|tg²xd(tga;) = ^ + C.

\ Пример 29.1. Найти интеграл / (2х⁴ — За;² + а: — 5) dx.

О Решение:

/*(2х⁴ - Зх² + х - 5) dx = 2 Г х⁴ dx - 3 Г х² dx + f х dx - 5 f dx =

= 2^- + Ci - 3^- + C-, + ~+C₃-5x + d = lx⁵ - x" + \x² - ox + C, 5 3 2 о 2

где С = С, +С₂+Сз + С₄.

/* Ж Ч~ 1

Пример 29.2. Найти интеграл / dx.

О Решение: /* dx = f(l + ~)dx = x + In |х| + С. •

29.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифферен­цированию. можно, получить таблицу основных интегралов путем обраще­ния соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.

Например, так как

d(sinu) = cos w • du,

то , ,

/ cos и du = / d(sinu) = sinw + С.

Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных мето­дов интегрирования.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и уни­версальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообраз­ных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приво­дящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необхо­димо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.

196

Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегриро­вания (/ может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой неременной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования).

В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному вы­ражению в левой части формулы.

Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция — опреде-

du

лена и непрерывна для верх значении и, отличных от нуля.

Если и > 0. то 1и|»| = \па, тогда еЛп|-и| — dhiu = —. Поэтому

/' <Ml ₌ \_{п V +} C = In \и\ + С при и > 0.

Если и < 0. ю 1п>| = ln(-u). Но d\n(-u) = =^ f dll = i_n(_„) + С = In \и\+С при и < 0.

Итак, формула 2 верна. Аналогично, проверим формулу 15:

du и

Значит,

1 , du

du =

,,1 и Л 1 1

rf ( - arctg - + С = - ■ , , • -

а* + и-

.« а ) о ! + (-)" «•

Таблица основных интегралов

,.> +1

1. f и" du = ^1€_ТТ + С {пф-\) J п + 1

2. Г dJl = \п\и\+С:

3. /' п" du = ^-+C:

4. f("du =c" + C;

5. / sin и du = - cos t/, + С G. / cos и du = sin » + С

7. / i£ii du ~ - la | сом» | + C:

8. / vtg и du = hi | sin ?(| + C:

7. /' -Ah- = (_Кн + Г 7 cos" ;/

10. / --^— = -rtgv f Г 7 sin" •;/

ⁱ²-/^=^luK?⁺f)l^+C:

13

(/

f / sh » f/v/ = eh7/ + Cy, ( / ch и du = sh и + С I;

J eh" i/. 7 sir м

du

/'

«и = t/ + 6');

= arcsin — 4- 6'; о

197

14. / - ^du = In \u + y/u²+a²\ + C; ■I \J-u- + a²

15. / .,^du л = I arctg У + С; .1 a" + и a a

16. f^dv_^ ₌ ±._]n a±u _+C:

J a- - w *а a - и

2

Va- - u²du = ^ ■ Va² - и² + Цу- arcsin - + C; 18. / л/'»'² ± a² du = | ■ vV ± a² ± ^ In |м + \Л«² ± a²] + C.