44.7. Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно по­казать. что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z = f(x;y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Q| Пусть z = /(х; у), где хну —- независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид dz = Ф^- ■ dx + §р ■ dy

(формула (44.5)).

Рассмотрим сложную функцию z = f(x;y), где х — x(u:v), у = y(u;v). т.е. функцию z = f(x(u;u);y(u;v)) = F(u;v), где unv — независимые переменные. Тогда имеем:

3F _J OF , dz dz

dz = —— ■ du + —- • dv = — ■ du + — ■ dv =

on dv du dv

dz dx dz dy\ (dz dx dz dy\

dx du dy du) \dx dv dy dv J

dz f dx , dx \ dz (dy dy

= tt ■ { ^r ■ du + — ■ dv + — —- ■ du + ~- ■ dv dx \du dv J dy \du dv

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(щ v) и у — y(u;v). Следовательно, и в этом случае,

, ^дг , ^дг , dz = — ■ dx + —- ■ dy.

dx dy

44.8. Дифференцирование неявной функции

Функция z = f(x;y) называется неявной, если она задается уравнени­ем

F{x:y;z) = 0, (44.11)

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные j^- и тт-

неявной функции z. заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в

271

уравнение вместо z функцию f(x; у), получим тождество F(x; у; f(x; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

д _. „ .. dF dF дг _п. Q-F(x;y,f{x;y)) ⁼я^{_ +} "я~я^_=0(2/" считаем постоянным),

д _. _t. ,, OF dF dz _n.

—t (x; y; f(x; y)) = ——f- -7— • 7— = 0 (x — считаем постоянным), ay ay dz ay

откуда , _,

dz F' dz F'

Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х² + у'² + z² — 4 = 0 опре­ деляет функции z\ = у/4 — х² — у² тл Z2 — — у/4 — х² — у², определенные в круге х² + у² ^ 4, 2з = \/4 — х² — у², определенную в полукруге х² + у² <С 4 при у ^ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2y + 3z) — 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух пе­ременных: если функция F(x;у; z) и ее производные F'_x(х; у; z), F'{x; у; z), F'_z{x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки М₀(х₀;Уо;го), причем F(x₀;y₀\z₀) = 0, a Fl(x₀;y₀\ z₀) Ф 0, то существует окрестность точки Мо, в которой уравнение (44.11) определяет единствен­ную функцию z = f(x;y), непрерывную и дифференцируемую в окрестно­сти точки (х₀;уо) и такую, что f(x₀;yo) = ЗД.

б) Неявная функция у — f(x) одной переменной задается уравнением F(x;y) = 0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, ана­ логичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

_'к

(К ф о).

Пример 44-6- Найти частные производные функции z, заданной урав­нением е~ + z — х²у + 1 = 0.

О Решение: Здесь F(x;y;z) = e^z + z - х²у + 1, F'_x = -2ху, F'_y - -х², Fl = e^z + 1. По формулам (44.12) имеем: || = +^^J. §^ = ~^-J- •

Пример 44-1 ■ Найти -Д, если неявная функция у = f(x) задана урав­нением у³ + 2у = 2х.

О Решение: Здесь F(x; у) = у³ + 2у - 2х, F'_x = -2, F'_y = Зу² + 2. Следова-

i -2 dy 2 а

тельно, у' — - . л " , т. е. -f- — -—5—г • •

272