33.5. Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа / х'^п ■ (a + bxⁿ)^p dx (называемые интегралами от диф­ ференциального бинома), где a, b — действительные числа; т, п, р рациональные числа, берутся, как показал Чебышеь П.А., лить в случае, когда хотя бы одно из чисел р. ^{т +} или ^—^ \- р является целым.

Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующи­ми подстановками:

1) если р — целое число, то подстановка х = t^k, где к — наименьшее общее кратное знаменателей дробей тип;

218

2) если — "*" —- целое число, то подстановка а + Ьх^п = t^s, где s —

знаменатель дроби р;

3) если — ~*~ + р — целое число, то подстановка а + Ьх^п = х^п ■ t^s, где

.s — знаменатель дроби р.

Во всех остальных случаях интегралы типа / х^т(а + bxⁿ)^p dx не вы­ражаются через известные элементарные функции, т. е. «не берутся».

г у V^ + i

Пример S3.8. Найти интеграл / = / -*—т= dx.

J \Jx

О Решение: Так как

ж ² • (1 +I⁵)³ dx,

то m = — А, п = 4, и = 4. ^i— = 2. Поэтому делаем подстановку 1 \ 6 п

4/i ₊ 1 = ^ а; = (f^! - l)⁴. dx = 4(t³ - l)³ • 3t'²dt, t = 'y\/x+\. Таким образом.

¹ = / ^ГГТ^ • ^Ш'²^ - ^J)^{3 ,ft} = ¹² /(*" " ^ ^Л =

= 12 • ^ - 12 • ~ + С = ^( Ух" + 1)* - 3 • ( Щ + 1)5 + С. •

i 4 7

§34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций зна­ чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда вы­ бранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, про­ стым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным спо­ собом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. На­ пример. / —Щ— можно найти, по используя рекомендуемую подстановку ./ cos х ....

tgx = t, а применив искусственный прием:

, •> .->>■>

(cos

/■ ах г [со*- х + sin X)- _

I cos'' х J cos⁶ x

1 , _otg²x , tg⁴.r^ _,____t 2_t^_ , 1

_I

2^V~ + -^T- ^dx = ^^;r + о tS ^J: + - tS'' * + ^C-

_ч cos² x cos² 3- cos² x) 3 5

Вряд ли стоит вычислять интеграл

Зх² + \х + 1

dx.

/:

х{х² + 2х + 1)

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби: Зх² + 4х + 1 З.г² + ix + 1 А В С

х(х² + 2х + 1) х(х + I)² х х+1 (х + 1

|2'

219

Заметив, что числитель Зх² + 4.т + 1 является производной знаменателя х(х² + 2х + 1) = ж³ + 2х² + х, легко получить:

г Зж² + 4х + 1 , г d(x³ + 2х² +х) , . з „ •> , „

J х(х² + 2х + 1) J х^я + 2х² + х

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречаю­щихся интегралов. В частности. «Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих с. i> чаях вы­числить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой 'элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что / f(x)dx «берет­ся», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (иди инте­грал вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл / у/х ■ cos г dr. так как но су­ществует элементарной функции, производная от которой была бы равна y^cosx. Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, кочорые име­ют большое значение в приложениях:

» ^х dx ■ интеграл Пуассона (теория вероятностей).

■&£- -— интегральный .логарифм (теория чисел).

соях² dx, smx²dx - интегралы Френеля (физика),

/ ^{8Ш х} dx, / ^со8х dx интегральные синус и косинус,

/ — dx —- интегральная показательная функция.

Первообразные от функции с "■'' . cos.r². -г^— и д.р\гнх хорошо изучены. ^f ■ ' In х

для них составлены подробные таблицы значений для различных значе­ний аргумента х.

Г лава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Лекции 29-33