46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция z = f(x;y) определена и непрерывна в ограничен­ной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых iочках I) своего наибольшего М и наименьшего т значений (i. п. ^.'юбюн/ный .>?."с-тремум). Эти значения достигаются функцией в гонках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе облает.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значении диффе­ренцируемой в области D функции z — f(x:y) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D. и вычи­слить значения функции в них:

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г — fix: у) па границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбран, из них наи­большее А/ и наименьшее т.

.гЧ

Пример 46-2. Найти наибольшее и наимень­шее значения функции z = х¹у + ху¹ + ху в за­мкнутой области, ограниченной линиями: у = —_,

х — 1, х = 2, у = —1,5 (см. рис. 212).

О Решение: Здесь г'. = 2ху + у² + у, z' +2ху + х.

1. Находим все критические точки:

11 1- ] .		в	С .;/-
-г,-			"~
о -1	1	п	2
	Л		К

у{2х + у + 1) = U. х(х + 2у + 1) =0.

Рис. 212.

Решением системы являются точки (0:0), (—1:0). (0: -1). (~^^:-о)-

Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .

2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, С Ей ЕА (рис. 212).

277

На участке ЛВ: ./■ = 1. z = ,</-' + 2;/. гле у £ [-|: 1 .

c'_v = 2,i/ + 2. 2,i/ + 2 — 0, .(/ = — 1. Значения функции г{ — 1) = —1.

2У ^_ 4-

На \'ча<"гке ВС: ц = --_ : ~ .г + - + 1. где .г <Е [1:21. .г .г ^{L J}

.:', — 1 К. 1 j = О. j'i — I. .r-> -- -1 ^ [1:2]. Значения функции

z(l) = 3. з(2) ---3..")

3. 1

На учапкс Г/Г: .г = 2. с = 2,/² + 6</. ц G -4/ ± I.

z'_:i ~ 4,i/ + С 1.1/ + 0 —- 0. ;/ -- - ту Значения ф\

ИКЦ1Ш z ( — 4 )

-4.5.

_U)

= 3.5.

На учапкс ЛЕ: // ^ -3. _: = -3zi + 3_r. _{х £} [_1:2],

.'. = — З.г + т. --З.г + ^ - 0. .г = j 4 [1:2]. Значения (функции

:(1) = -^. ".(2) = -1.о.

3. Срашншая по. \\ чоппые ре s\. и,та: ы. n.\iee\i: М = +3,5 = -! 2; т^ ) = = .:((_'): а ш = - t-Г, --= _с(2:-^) =с(Е).

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Правила дифференцирования

1. (./±7«)' = и'±г'.

2. (и ■ г)' = а'г + иг'. н час! кости, (с»)' = г ■ и':

3. (У)' = iU^i!^. в чап кости. (-^' = -Щ£;

⁴- .'/'• = 2/!, • «'■• ^(ЧЛ11 •'/ = /(«)• « = *>(■''):

5. .(/'. = -_г, если .(/ = /(.г) и .с _ ^{(j). и

Формулы дифференцирования

1. М' = 0:

2. {vⁿ)' = а ■ и ' "' • /i'. is частости, (%/77)' = —^= ■ »';

2 л/?/

3. (а")' = «" -Ьн/ ■ <■;'. is чшчпопи. (с")' -с" • ?/;

4. (log,, и)' = 1— • и¹, в час I чоп и, Пин)' — — • «,':

5. (.sin ;/)' = cos и ■ и':

6. (cos и.)' = - sin и ■ и':

7. (tg«)'= ~L--a':

COS II

8. (₍-1_К,у)'^--₇-^--«':

sin" /;

9.
10.	vi -""
	V 1 - »'-'
11.	(arctgw)' = -r-r^ ■"''■ 1 + и
12.	(anrtgi,)' = --—L--.T ■ u': 1 + 1Г
13.	(sh i/)' = c'li (/ • a':
14.	(fh (i)' = sh ii • «';
15.	(thi0' = -7V--«':

СП II

16. (cthu)' = 4-- I,'.

sir II

279

Таблица основных интегралов

1. fu^adu = ^-j + C {аф -1) Udu = u + c); 2.J^=\n\u\ + C;

3. / а^и du = -Р— + С; In а

4. fe^udu = e^u + C;

5. / sin udu = — cos к + С

6. / cos и du = sin и + С

7. / tg и du = — In | cos u\ + C;

8. / ctg и du = In | sin it | + C;

9. I -Ц- =tgu + C J cos'' u

10. /^%- = -ctgu + C i sin² M

( / shudu = chu + C]; ( / ch и du = sh и + С];

11.

-**«-= Ь |_tgM| ₊ C; sin и i ° 2 '

+ C;

12. /"-iu-^ln tgf^ + f) ./ cos?t °\2 4/

= arcsin - + C;

13.

/" du

■' v a² - u²

14.

du

V«'² + a'^;

= In | it + \At² + a²1 + C;

i ar<;tg ^ + C;

du

15. / -5 7

a² + u² a a

16.

У ^3^-2а

■In

а + it а - it

+ C:

17. У Va² - u² du = I • Va² - ы² + ^ arcsin M + C;

18. У vV² ± a² du = I • vV² ± a² ± ^ In |u + vV²±a²| + С

По вопросам оптовых закупок обращаться:

тел./факс: (095) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru

Адрес: Москва, пр. Мира, 106

Наш сайт: www.airis.ru

Вы можете приобрести наши книги

с II⁰⁰ до 17³⁰, кроме субботы, воскресенья,

в киоске по адресу: пр. Мира, д. 106, тел.: 785-15-30

Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66

Издательство «Айрис-пресс» приглашает к сотрудничеству

авторов образовательной и развивающей литературы.

По всем вопросам обращаться

по тел.: (095) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru

Учебное издание

Письменный Дмитрий Трофимович

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

1 часть

Издание пятое

Ведущий редактор В. В. Черноруцкий

Редактор Л.В.Абламекая

Художественный редактор А. М. Кузнецов

Обложка А. М. Драговой

Иллюстрации Е. В. Панкратьев, А Ю. Терская

Технический редактор С. С. Коломеец

Компьютерная верстка К. Е. Панкратьев

Корректоры Н. С. Калашникова, 3. А. Тихонова

Подписано в печать 21.12.04. Формат 70x100/16. Гарнитура «Компьютер Модерн». Печать офсетная. Печ. л. 18. Усл.-печ. л. 23,4. Тираж 15 000 экз. Заказ № 418,

ООО «Издательство "Айрис-пресс"» 113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов

в ОАО «Можайский полиграфический комбинат»