32.3. Использование тригонометрических преобразований

Интегралы типа / sin ах- cos Ъх dx, I cos ах ■ соь bx dx, / shiMX-sin/wiVx вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

sin a cos 3 = — (siiifo; — /i) + siii(cv + ;j)),

cos a cos (1 = ~(cos(o' - ;i) + cos(a + J)).

sin ft sin/i = r(cos(r» — /i) - cos (a + d)).

Пример 32.6. Найти интеграл I ~ j sin 8x cos 2x dx. О Решение:

I — sin 8x cos 2x dx — - (sin lOx + sin Gx) dx =

= \(~^r-lcos6x)₊C. •

§33. Интегрирование иррациональных функций 33.1. Квадратичные иррациональности

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациона. п. ные функции.

Интегралы типа [ , f^x Г \/ax²+bx + cdx, I —. ^тх+^п ,1 -

■' \/ах²+Ьх + с ■' J \/ax²+bx±r

называют неопределенными интегралами от квадратичных пррациона. i ■

914

ностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат

ах' + Ъх + с =

Ь \² Аас-Ъ²

а [х +

+ ■

2а)

4а²

^{= a}(^x2+ba^X+l)=^a((^{X +} i)^2+Ca-i)

Ь _.

и сделать подстановку х + #- = t. При этом первые два интеграла приво­дятся к табличным, а третий — к сумме двух табличных интегралов.

dx

Пример 33.1. Найти интегралы I = —,

2ж + 1

■I \Дх* +

О Решение: Так как 4х'² + 2х + 1 = 4(х² + h^x + j) ⁼ Ц[^х + l) + fL Ь ^т0 г dx 1 г dx

J /л//™ , 1 v2 i з~Т 2 У

_\А«

^+i)²+ii

) ^2У ^⁺">²⁺*

Сделаем подстановку х + -j = t, х = t — jr, dx = dt. Тогда

= lm

\!

dt

У*² +3/16 2

^t+^^{2 +} l6

+ C =

= -In 2

x _{+ l +}

1\2 3

l) ⁺T6

+ c. •

\/б - 2х - ж²

Пример 33.2. Найти интеграл / = / , ^д + ⁴

У Vfi-2.r-

dx.

О Решение: Так как 6-2£-;г² = -(х²+2:г-6) = -((х+1)²-7) = 7-(з; + 1)², то подстановка имеет вид х + 1 = t, х = t — 1, dx = dt. Тогда

/=:

/

[ ^tdt ,«[ ^dt

J VT^⁺ⁱJ n/7^

dt

t - 1 + 4

t:²

= -\f(7-i²rU(7-t²) + zj

dt

\J(V7y-t²

= - \Jl - t² + 3 ■ arcsin -7= + С = 3 arcsin — \/б - 2x - ж² + С. •

V7 \/7

Интегралы типа / , "v / ^ _Где p_n(x) — многочлен степени n,

У у ax² +bx + с

yai² + 6x + с можно вычислять, пользуясь формулой

/

Рп(х)

у/ах'² + Ьх +

: dx = Q_n-\{x) ■ Vах² + Ьх + с + Л /

dx

%/ax² + Ьх + с

, (33.1)

где Q_n_i(x) — многочлен степени п — 1 с неопределенными коэффициен­тами, Л — также неопределенный коэффициент.

215

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получа­емого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):

А

+

4^Т = (Qn-ito • V^² + bx + c)'

у/ах'² ■+ Ьх + с \/ах'² + Ьх + с

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степе-

нях неизвестной х.

dx.

Пример 33.3. Найти интеграл I = —, ^х

J л/1 - 2аг - х'²

О Решение: По формуле (33.1) имеем:

dx

2

I = Г ~_г=? dx = (Ах + В)у/Г- 2х - х² + А ■ /' .

./ \Д - 2х -х'² J у/1 - 2х - :г

„л

Дифференцируя это равенство, получаем:

2 - 2х А

= = A-\Zl-2x-x² + (Ax + B)-—r- +

,2 ^ч ' О. /1О^ Z2

у/Т=2х-т² ' ' 2лЛ ~ 2.г - х'² \/1 - 2.г - х²'

т. е.

х² = .4(1 - 2:г - х²) + (Аз- + В){-1 - х) + А.

х- =А- 2.4.г - Аж² - Ах-В- Ах² - Вх + А.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

1 = — .4 — .4 при х².

0=-2А-А-В при.;;¹,

J) = A-B + \ приж⁰.

1 ч

Отсюда А = — \. В = ^. \ = 2. Следовательно,

dx

n/2- (х + 1)²

I=(--₂x+^)Vl-2x-x'²+2f

= f^-^ + ?) ^1 " 2.т - .r^a -f 2arcsin '^~ + С. • V 2 2 / \/2