39.3. Интегрирование по частям

Теорема 39.2. Если функции и = и{х) и с = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [ir.b], то имеет место формула

ь

I udv = uv\ — / с с/к. (39.2)

а

231

Ql На отрезке [a; b] ьмеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно. функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v + uv'. Тогда по формуле Ньютона,-Лейбница имеем:

/ (u'v + uv') dx = uv\ .

Следовательно, ь ь

v ■ и' dx + / uv' dx = uv\_a =4>

a a

b b

=>■ vdu + udv =

и и

/ udv = uv\ — I vdu.

Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 39.2. Вычислить xlnxdx. О Решение: Положим

du = — dx х

и = In х => dv — xdx ==Ф Применяя формулу (39.2), получаем

'т* 1

dr

2 :r

/ х In х dx = — • In x | — /

i

e^- 1 z

_;=t-t+h«^>-

Пример 39.3. Вычислить интеграл xsin xdx.

О Решение: Интегрируем по частям. Положим

и = х

dv = sin х dx

du = dx v = — cos x

Поэтому

J = — .Tcos^r + / cosxdr = —7Г • ( — 1) + 0 + sin.r|* = тт.

232

39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [~ща]. симметричном от­носительно точки х = 0. Докажем, что

{я

2- / f(x)dx, если f(x)— четная функция, J^JK' ¹' (39.3)

0. если f(x) — нечетная функция.

Q| Разобьем отрезок интегрирования [—а; а] на части [-а;0] и [0;а]. Тогда по свойству аддитивности

а 0 а

I f(x)dx= I f(x)dx + j f(x)dx. (39.4)

— а — а О

U V 1С U

I f(x) dx = -f f(-t) dt = J f(-t) dt = I f(-x) d.i

В первом интеграле сделаем подстановку х = —t. Тогда о о о а

" " " ^{Г r}f(-x)ax

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим

а а а а

[ f(x) dx = j f(-x) dx + J f(x) dx = /(/(--'О + /(.'0) dr. (39.5)

-a 6 0 0

Если функция f(x) четная (/(—.г) = f(x)), то f( — x) + f(x) = 2f(x); если функция f(x) нечетная (f(-x) = -f(x)), то f(-x) + f{x) = 0.

Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3). I

Благодаря доказанной формуле; можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что

/ соя'² х ■ sin³ х dx = 0, / с"^х • sin х dx = 0.

о о

§40. Несобственные интегралы

ь

Определенный интеграл / f(x)dx, где промежуток интегрирования

а

[а\Ь] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрез­ке [а; Ь], называют еще собственным интегралом.

О

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. оп­ределенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным проме­жутком интегрирования или определенный интеграл с конечным проме­жутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

233

40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке \а:+ос). Если суще-

ь

ствует конечный предел lirn / f(x)dx, то его называют несобственным

6-И-эо J ,

а у '

интегралом первого рода и обозначают / /(.г) dx.

а

Таким образом, по определению

+ -х	b
j f{x)dx	= lini / f(x) dx. 6->4 эс ./
а	ч

В этом случае говорят, что несобственный интеграл / f(x) dx сходится.

а

Если же указанный предел не существует или он бесконечен, ю говорят.

что

'/=/(.'■)

интеграл / f{x) dx расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке ( — ос: Щ:

ь ь

[ f(x)dx = lim [f(x)dx.

.1 ,1 --> - тс J

— эс a

Несобственный интеграл с двумя бесконечны­ми пределами определяется формулой

Рис

+ ос

x)dx. глее-- uponзвольное чис. ю.

J f(x)dx = J f(x)dx+ f f(:>

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция fix) ^ 0 па

промежутке [а; +оо) и интеграл / /(.г) dx сходится, то он выражает п.ло-

о

щадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).

Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установи гь их расходимость: 1) / 'ji; 2) / cobxdx; 3) ~r-

Q Решение: 1) /

Щ = lim [x~²dx

Х 6-> + toJ

1 I

интеграл сходится:

lim -i

fc—И--Х Л

= -(0-1) = 1.

231

2) / cosxdx — lim / cos x dx = lim sinxl = 0 — lim sin а, нн-

J a—> — oc J a—^ —oc ^,a a—> —oc

— со a

теграл расходится, так как при a —> —ос предел lim sin а не существует.

а —> — ос оо Ь

3) / — = lim I — = lim 1и& = ею, интеграл расходится. •

./ -С 6—>сс У 2' 6—>оо

1 1

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; доста­точно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [о.;+ос) непрерывные функции /(х) и <р(х) удовлетворяют условию 0 ^ /(я) $С ■f(x). то из сходимости ин-

+ ЭС +ОС

теграла / v?(x) dx следует сходимость интеграла / f(x) dx, а из расходимости интеграла / f(x) dx следует расходимость интеграла / y>(x)rlx.

dx

+ У

Пример 40.2. Сходится ли интеграл / .>- ⁽

J :г" 1

¹ -V

Q Решение: При .?: ^ 1 имеем ■> —гу- < Лг- Но интеграл / 'My

х~( 1 + 3 ) .г" ./ х"

1

41+ з-')

значение меньше 1).

■ходится. Следовательно, интеграл / —з_п ^тт также сходи гея (и его

J X (1 ~г о )

Теорема 40.2. Если существует предел lim 4ти ⁼ ^"> 0 < А; < ос (f(x) > 0 и ^(х) > 0), то интегралы / f(x)dx и / ^p(x)dx одновременно оба сходятся или

а и

оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

1а Му^— d.r. х' + 1

+ 00

dx

О Решение: Интеграл / In ^J₂ ⁺ ^ dx сходится, так как интеграл / -j

сходится и

Inf^f ,:. ¹"(¹ + PTT)

,.2, •-

_Um _^±L_{= Ит} ^H^£!±ii_{= lim} £!±l ₌ i.

.г—^+оо -~ х—± + оо -Кг

235

40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция /(ж) непрерывна на промежутке [а: Ь) и имеет бесконечный разрыв при х — Ь. Если существует конечный предел

Ь-е

lim / f(x) dx_: то его называют несобственным интегралом второго рода

а (,

и обозначают / f(x) dx.

а

Таким образом, по определению,

ъ J f(x) dx = а

= lim

/ а

}{x)dx.

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл

ь

j f(x) dx сходится. Если же укачанный предел не существует или беско- { ь

нечен, то говорят, что интеграл / f(x) dx расходится.

а

У >

Аналогично, если функция f(x) терпит бесконеч­ ный разрыв в точке х = а, то полагают ь ь

Jf(x)dx = \im J f(x)dx.

Если функция f(x) терпит разрыв но внутренней точке с отрезка [а; Ь], то несобственный интеграл вто­рого рода определяется формулой

I) с ь

j f(x)dx = J }{x)dx + J f{x)dx.

О

b-eb ^x

Рис. 173.

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда f(x) > 0, несобственный интеграл второго рода ь

j /(.г) dx (разрыв в точке х = Ь) можно истолковать геометрически как

а

площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).

1 Пример 40-4- Вычислить / ^§.

о

О Решение: При х = 0 функция у — -\ терпит бесконечный разрыв;

lim

О 0-к

интеграл расходится.

/ •—- = lim х ² dx

J х² <г->-0 J

l|i

о x ^l0+*

1 - lim -

5-^0 £

00,

236

Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а;Ь) функции f(x) и ip(x) непрерывны, при

х = Ь терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ^ f(x) ^ <р(х)-

ь ь

Из сходимости интеграла / у>(ж) dx вытекает сходимость интеграла / f(x)dx, а из

а а

Ь Ь

расходимости интеграла / f(x)dx вытекает расходимость интеграла / ^>(x)dx.

Теорема 40.4. Пусть функции /(.с) и (р(х) непрерывны на промежутке [а; Ь) и в

fix) точке х = Ь терпят разрыв. Если существует предел lim ^J) ' = к, 0 < к < сю, то

интегралы / f(x)dx и / <p(x)dx одновременно сходятся или одновременно расхо-

дятся.

Пример 40.5. Сходится ли интеграл / ,. ,?

о

О Решение: Функция /(.г) = ~т^—; имеет на [0; 1] единственный разрыв н

sin х

I , 1

точке х = 0. Рассмотрим функцию <р(х) = —. Интеграл

/ — = hm / — = hm hi .7: = 0 - hmliic ./ х -->о J х ?->() ^lf ?^о

0 О+е

расходится. И так как

_lim №_ _{= lim} _jL_ = i.

,r->o ^р(х) ,с->о sin х 1

то интеграл / . также расходится. •

^f J suit о