42.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у = f(x) на каждом отрезке [х;-\;х.;] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольни­ков, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного

ь

вычисления интеграла / /(х) dx.

а

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограни­ченной сверху графиком параболы у = ах² + Ьх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — отрезком [—/г; h].

256

Пусть парабола проходит чер»ч :рн г^чь;; ... А/₂(0: »i), A/j(fc; |ц). гае ш» = •** - 4А + с — орлинатл :.а;х-. болы в точке х = -Л; fi = с — орашап параболы в точке х = 0; i/2 = ah² + bh+c — орлшвята оарабаты в точке z = Л

(см. рис. 202). Площадь S равна

5 = / (ах² + Ьх + c)dx —

Рис.202. ⁼{^aY^+bT^+CX)l_h = l^ah3+2ch- ⁽⁴²'³'

Выразим эту площадь через h, уо, у\, уг- Из равенств для ординат yi находим, что с = у_ь о = тЬ(Уо - 2j/i + у₂).

Подставляя эти значения с и о в равенство (42.3), получаем 2,1 ^{5 =} 3 2^2^(У0 ~ ^{2Ш + У2) + 2k} ' ^{Ш =}

= -^(Уо ~ 2_У1 + у₂) + 2h_Vl = -(уо+4_У1 +у₂). (42.4)

6 Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла / f(x) dx.

а

Для этого отрезок [о; Ь] разобьем на 2п равных частей (отрезков) дли­ной h — ~ ° точками Xi = Хо + ih (i — 0,1, 2,..., 2п). В точках деления

а — Xq, х\, х-2,---, Х2п-2, Х2п-1, ^2п — b вычисляем значения подынте­гральной функции f(x): уо, у_ь у₂,..., У2п-2, У2п-1, У2п, где yi = f(Xi) (см. рис. 203).

y=f(x)

9-41В

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапе­ ций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической тра­ пецией с основанием, равным 2/г. На отрезке [здяг] парабола проходит через три точки (х₀;уо), (xi;yi), (а^уг)- Используя формулу (42.4), нахо­ дим _Х2

Si = J f(x) dx = -(j/o + 4j/i + y₂).

257

Аналогично находим

u.4 ₇

х₂

Х1„

/П. f(x)dx = -(j/2 +4^/3 + г/₄),

Jn —

f(x) dx = -(У2п-2 + 1у2п-1 + У-2п)

Сложив полученные равенства, имеем

ь _h

/(ж) dx ss -(г/о + 4г/1 + 2j/₂ + • • • + 2г/₂„-2 + 4г/_2п-1 + г/₂„)

или

b — а

f(x) dx «

о + 2/2n) + 4(jyi + J/3 + ''' + 2/2k~i) +

+ 2(?/2 + Ул + ■ ■ ■ + гу₂„-->)) ■ (42.5)

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсопа).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

|Д"1 ^ ,£~"L ■ ^Л/4, где Л/₄ = max \f^IV(x)\.

а<х<Ь

180 -(2п)⁴

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла ь

I f(x)dx во всех случаях, когда f(x) — многочлен, сте-

а

пень которого меньше или равна трем (тогда /^л = 0).

₂

Пример 42.1. Вычислить / х^-3 dx, разбив отрезок инте-

о грирования [0: 2] на 4 части.

b-a 2 1

О Решение: Имеем: f(x) =

4 2'

а = х₀ = 0; Ь = Х4 = 2, h

хо = 0, у₀= 0; х_Л = -, 2/i = „-; ^2 = 1, I/2 = 1;

3 27

Рис. 204.

•2"з = к, Уз - —■ х*. - 2, г/4 = 8;

(см. рис. 204)

258

а) но формуле прямоугольников:

125 7

64 ^; ' 1/1 27 125 343\

х da:

1

1

27

^{С1 =} 4' ^{У1 =} 6~4^{; С2 =} 4' ^№=6i^;

64^; 343

^{Гз =} 4' ^{2/3 =} "б4^{_; С4 =} 4' ^Т"'

(— + — + — + — ) = 3,875, т. е. I х'Ыхя 3,875; V64 64 64 64 У '

б) по формуле трапеции:

⁰ 2

a-³ dx к, - (—- ь - + 1 + — ) = 4,25, т. е. ( х³ dx к 4,25;

2 \ 2 8 8 / J

о о

в) по формуле парабол:

2 2

Г х^л dx « —— (О + 8 + 4(- + — j + 2 • l) = 4, т. е. Г х³ dx к 4.

2

/4 ж³ dx = Щ-

= 4.

Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы: а) 0,125; б) 0,25; в) 0. •