§46. Экстремум функции двух переменных 46.1. Основные понятия

Поняли¹ максимума, минимума, жефомума функции двух перемен­ных апа, Ю1 шипя eooi ве ie 1 в\ ющпм поня гиям функции одной независимой переменной (см. п. 2-7-1).

Пуоь функция ... - /(.с;.;/) определена в некоторой области D. точка

-V(.О.:'//.)) е Ь.

|н\1 Точка {.гп- //()) на!ывае,'ся точкой максимума функции г = /(.?•://),

^™-' ее in сущее i пуст такая Л-окрое гпост ь точки (.Гее уо), ^Ti го для каждой точки

(■г:у). (о.тпчпой oi (./■(>: //,,). из -пой окреснюсги выполняется неравенство

/(■^г:.'/) < /(-со■■//())■

о

..',j- ..• ..'.• . .-: точка ф) in if для всех точек i х: у). отлмчных от (if,: 90). из «^окрест­ности точки (хо'.уо) выполняется нера­венство: f{x:y) > f(x₀:y₀).

На рисунке 210: Лц — точка макси­мума. а Л") — точка минимума функции z'=f(x;y).

Значение функции в точке макси­мума (минимума) называется .мак­симумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции назы­вают ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции: максимум и минимум имеют ло­кальный (местный) характер: значение функции is точке (хо;уо) сравни­вается с ее значениями в точках, достаточно близких к (;го; Уо)- В области D функция можег иметь несколько экстремумов и.ти не иметь ни одного.

46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке Л'(.х^-о; уо) диф­ференцируемая функция z — /(.г; ц) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: /.г(-'*о^: /Л>) ~ ". /',(''п: ,'/о) = 0

[_][ Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у = у₀- То­гда получим функцию /(.r:i/[|) = у(х) одной переменной, которая име­ет экстремум при .г = .со. С'леловатедьпо. согласно необходимому усло­вию 'экстремума функции одной переменной (см. и. 25.4), ^р¹ (х₍₎) = 0, т. е. /;(•'•.,://„) =0.

Аналогично можно показа п>. что /'Д./д: //о) = 0. Ш

Геометрически равенства /' (.'"п: //_и) — 0 и /'(.г₀; t/₍₎) = 0 означают, что в точке экстремума функции ; = /(•<';;</) касательная плоскость к поверх­ности. изображающей функцию /(■''://), параллельна плоскости (An/, 1, к. уравнение касательной плоско­сти есть г = .-„о (см. формулу (Ль.2)).

Замечание. Функция может имен, экстремум в точках, где xoik бы о.тна из частных производных не существует. Например, функция z = 1 — \J х'¹ + у² имеем .максимум и точке 0(0:0) (см. рис. 211), по не имеет в этой точке частных производных.

Рис. 211.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции : = f(x: у) равны ну. по, т. е. /'. = О,

/' —- 0. называется стационарной точкой функ-

ЦИИ Z.

■п:>

о

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная произ­водная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, напри­мер, функцию г = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней г'_х = у и z' = х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция 2 = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0;0) най­дутся точки для которых г > 0 (точки I и III четвертей) и г < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной обла­сти необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть допол­нительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х₀;у₀) и некоторой ее окрестности функция f{x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения

^А = 1"Л^хо;Уо), В = f_x'_y(x₀;yo), С = fy_y(x₀;y₀). Обозначим

Д =

Тогда:

А В В С

= АС - В².

1. если Д > 0, то функция f{x;y) в точке (х₀;у₀) имеет экстремум: мак­симум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Д < 0, то функция f(x;y) в точке {х₀;у₀) экстремума не имеет.

В случае Д — 0 экстремум в точке (х₀;?уо) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Примем без доказательства.

Пример 46.1. Найти экстремум функции г = Зх²у — х³ — у⁴.

О Решение: Здесь z'_x = бху—Зх², z' = Зх²— 4у³. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

(бху - Зх² = 0, [Зх² - V = 0.

Отсюда получаем точки Mi(6;3) и Л/₂(0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции: z'_x'_x = 6у - 6х, z_xy = 6х, z'yy = — 12г/².

В точке Mi(6;3) имеем: А = -18, В = 36, С = -108, отсюда

АС - В² = -18 • (-108) - 36² = 648, т. е. Д > 0.

276

Так как А < О, то в точке М\ функция имеет локальный максимум: z_max = z(6; 3) = 3 • 36 • 3 - б³ - З⁴ = 324 - 216 - 81 = 27.

В точке М₂(0;0): А = О, В = О, С - 0 и, значит. Л - 0. Проводом ло- полнительное исследование. Значение функции z в точке М-₂ равно нулю: z(0; 0) = 0. Можно заметить, что z = -у¹ < 0 при х = 0. .;/ ^ 0: z = —.г^! > 0 при х < 0, у = 0. Значит, в окрестности точки Л/о(0:0) функция г прини­ мает как отрицательные, так и положительные значения. Слсдоиаге. п>по. в точке М-2 функция экстремума не имеет. •