44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Из определения дифференциала функции г = f(x; у) следует, что при достаточно малых \Ах\ и \Ау\ имеет место приближенное равенство

Az и dz. (44.6)

Так как полное приращение Дг = f(x + Ах;у + Ay) — f(x;y), равен­ство (44.6) можно переписать в следующем виде:

f{x + Ах;у + Ау) и f(x;у) + f_x(x;у)Ах + f_y(x;у)Ay. (44.7)

Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах. Пример 44-3. Вычислить приближенно 1,02³⁰¹.

О Решение: Рассмотрим функцию z = х^у. Тогда 1,02³⁰¹ = (х + Ах)^у+Ау, где х = 1, Да; = 0,02, у = 3, Ау = 0,01. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя z'_x и z'_y: z'_x = {x^v)'_x = у ■ x^y~^l, z'_y = {x^v)'_y = x^y ■ In x. Следовательно, 1,02³'⁰¹ » lS + S-l^-O^ + lMn 10,01, т. е. 1,02³-⁰¹ » 1,06.

Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: 1,02³⁰¹ и 1,061418168. •

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: гра­ницы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычи­слениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

44.5. Дифференциалы высших порядков

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифферен­циал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция z — f(x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по форму­ле d²z = d(dz). Найдем его:

_й , (dz , dz d z = d\ —dx+ —i \ox ay

dz , dz , V , (dz , dz , V

d-x^{dx +} Yy^dy)_x-^dx+\Tx^{dx +} d-y^dy);^{dy =}

d²z , d²z л _J ( d²z , d²z_J\_J

d^^{dx +} dWx^dy)'^dx+\dxTy^{dx +} dY^2dy)-^dy-

o2 p\2 o2

Отсюда: d?z = Ц-^dx² + 2 • 9 Z dx ■ dy + ^-idy². Символически это запи-

дх^г dxdy " ду²

сывается так: ₂

^{<j2z =} \~dx^dX+ d~^dy) '^Z'

268

Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего по­рядка:

/pi pi \ о

d?z = d(d²z) - ( — dx + —dy \ox ay

где

(д _J я у d^A _J з a² _J \jrx^{dx +} Ty^dy) ⁼d?^{dx +3}d?^dx

д³ ,, „ д² ,₂ д _J д _J д² _{J 2} a³ _J з

² —dy + 3_irdx ■ -Tr^dy² + -rr^dy³

ду"^а ' "дх~" dy^{2 y} dy³

Методом математической индукции можно показать, что

dⁿz= ( — dx + -тг-dy J -z, n e N.

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х ну функции z = f(x;y) являются независимыми.

Пример 44-4- {Для самостоятельного решения.) Найти d²z, если z

= х³у².

^v.

Ответ: d²z — бху² dx² + 12х'²у dx dy + 2х³ dy².

44.6. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z = f(x\y) — функция двух переменных хну, каждая из ко­торых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z — f{x(t)\y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные перемен­ные.

Теорема 44.4. Если z = f(x;y) — дифференцируемая в точке М(х;у) £ D функ­ция w х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) — f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

dz _ dz dx dz dy

It "di"dt,⁺dy"dt' ⁽⁾

Q| Дадим независимой переменной t приращение At. Тогда функции х = — x(t) и у — y(t) получат приращения Да; и Ау соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.

Так как по условию функция z = f(x\y) дифференцируема в точке М(х;у), то ее полное приращение можно представить в виде

dz . dz _{Л л} „_л

Az = — ■ Ах + — ■ Ау + аАх + /ЗАу, ох оу

где q -» 0, /? -» 0 при Да; —> 0, Ау —> 0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Az на At и перейдем к пределу при At -> 0. Тогда Да; ->• 0 и Ау -¥ 0 в силу непрерывности функций х — x(t) и у = y(t) (по условию теоремы —

269

они дифференцируемые). Получаем:

.. Az dz ,. Ах dz ,. Ay ,. ,. Ах ,. , ,. До

lim —— = -—-■ lira ——I- — - hm ——h lim a- lun ——I- hm .1- Jim —-, At->o At дх At-,o At dy Д(->о At дг^о д*->о At д*~+о д^-ш Д^

т. е.

dz 9г с?х dz dy dx dy

dt дх dt дх dt dt dt'

или

dz dz dx dz dy dt dx dt. dy dt

Частный случай: z = f(x;y), где у = y(x), т.е. z = f{x:y{x)) сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводит­ся к предыдущему, причем роль переменной t играет г. Согласно форму­ле (44.8) имеем:

dz	dz	dx	dz	dy		dz	dz		dz	dx,
Z	—		-1		или	-	—	+
dx	dx	dx	dy	dx		dx	dx		dy	dx

(44.9)

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(icv), у = ;»(«; v). Тогда z — = f(x(u\v);y(u;v)) — сложная функция независимых переменных // и v. Ее частные производные Ф и Ф можно найти, используя формулу (44.8)

dz dx dy

du dv

еоответ-

dt

_и dz дх дц. du' du' du'

следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней %, .

ствующими частными производным

dz _ dz dx dz dy du dx du dy du'

(44.10)

Аналогично получаем: Ф = Ф ■ Ф + Ф ■ -Л. ^J dv dx dv dy dv

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой незави­симой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их произ­водные по соответствующей независимой переменной (и и г).

Пример 44-5- Найти Ф и Ф, если z = 1п(х² + у²), х = и ■ /;, у = ".

'dv 1

ди

О Решение: Найдем Ф (Ф —- самостоятельно), используя формулу

dz_ du

(44.10):

2х ■ v +

_ь

2 2

X +У

1 х* + V²

270

Упростим правую часть полученного равенства:

dz 2 / у\ 2 / и

— -Т7 [ X ■ V + - = -7 ■ [ UV ■ V +

du х²+у² \ «У /_и\² Г ' ' (си

(uvy +

2v- и ■ (t>⁴ + 1) _ 2

u²{v^A + 1) и² ~ й'

т е ^9г = 2