§30. Основные методы интегрирования 30.1. Метод непосредственного интегрирования

F>

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тожде­ственных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под .так дифференциала»):

du = d(u + а), а --- число,

da = -d(au), а ф 0 -— число, а

и ■ du = —d(ur),

cos иди = rf(sinu), sin?/ du — —rf(cos и),

— du = rf(hnt), и

—-— du = d(tgu). сон² и

Вообще, f'(u)du = d(f{it)), чта формула очень часто используется при вычислении интегралов. Примеры:

dx rd(x + 3)

1) / — j = hi \x + 31 + С (формула 2 таблицы интегра-

J х + S J х + 3

лов

2) f(3x - 1 )²⁴ dx = ± у (З.т - l)²⁴ d(3x -1) = \- ^{ЗХ ₂-¹⁾²° + С (фор-мула 1);

198

1 — sin" x

3) / ctg² x dx = / 5—- dx — / ( —-_y 1 ) dx = / —^— dx - dx-

J J sin x J \ sin" x ) ■> sin" ж У

;tg a: — x + С (формулы 10 и 1):

dx 1 /• d(V3-x)

«/

/3/

\/4 - 3.T- V^3

^(2)²-(л/3-^

>/3

мула 13):

1 . л/З-я,,,, arcsin — h С (фор-

5) / sin² 6a-da- = - / (1 - cos 12a:) dx = - dx - - cos Ylxdx =

2 24 rf.r 1 г {x-l)-(x + 2)

1 111

-- - / cos 12a: rf(12.r) • — = -x - — sin 12a- + С (формулы 1 и 6);

dx — —-

6)

x-l

2) ' ЗУ (х-

(a--l)(a- + 2) ЗУ (x~l)(x + 2) ~ 37 (x-l)(x + 2) ¹ f J + 2 1 /■ d(x + 2) 1 /■ d(a; - 1) 1 , ,

3

3.1 (x - l)(a- + 2) 3Jx + 2 ЗУ

+ \\n\x-\\+C;

dx+

sin м du

osu

i) / t,g и ilu — I — мулы 7):

d(cos и

r щсок и

/ = — In cos u + С (вывод фор-

J COS M

sin"

_I

rfn

+ C:

^' J sin // ~.l 2 sin f cos f " ^U~.l 2 sin f cos £ /ng-_f/(₂-)₊ytg-_rf(-)=ln|s₁n-

111 COS

du +

2 sin f cos |i sin #

cos £

+ С = In

= ln

^fKo

+ 6' (вывод формулы 11);

9) f x{x+2f dx = f(x+2-2)(x+2)⁹dx = f(x+2)^wdx-2 f(x+2fdx =

= /(,• + 2)¹» d(x + 2) - 2 /(:, + 2)⁹ d(x + 2) = ^^ - ²Щ^ + ^C (формула 1);

f/.T

10) /'—^—5- = - f(ctgxy^r'd(ctgx)-- J ctg . с -sin", r .'

(формула 1):

-4 4 ctg⁴ a;

_Ч-л

11

dx

x/3 - 2a- + x² J у⁷'² + (ж - l)² nix - 1 + \/3~- 2x + a;² j + С (формула 14);

d(x - 1)

(v/2)² + (x - l)^a

199

ⁱ²>/K-^^W^^/St-/³'-'*-^

= х⁴ - - tg 2х - —- + С* (формулы 1, 9, 3);

ii 111 О

13) /a;³- Vl+^da,-/'(l+a:²)3.a;-(a;² + l-l)da;=- f{l+x²)i d{l+x²)--y(l + a-²)id(l + x²) = ^(l+x²)l-^(l+x²)i+C.

Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изобре­тательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой подынте­гральной функции».

Соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений.

30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный инте­грал приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить под­становку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл / f(x) dx. Сделаем подстановку

.с — у>(г), где tp(t) функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда dx = ip'(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегри­рования подстановкой

ff(T)dx = Jf(<p{t))-<p'(t)

dt.

(30.1)

Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в неопре­деленном интеграле. Посте нахождения интеграла правой части чтого ра­венства следует перейти от повой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = <р(х)* тогда / f{^(x)) • ^p'(x)dx — I f(t)dt, где t = ^p(x). Другими словами, форму­лу (30.1) можно применять справа налево.

Пример 30.1. Найти еА dx.

О Решение: Положим х = 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно. f е* dx = 4 f е.' dt = 4е' + С = 4е* + С.

Пример 30.2. Найти f х ■ \/х - 3 dx.

200

О Решение: Пусть у/х — 3 = t, тогда х = t² + 3, dx = 2t dt. Поэтому / x ■ Vx - 3 dx = f{t² + 3)-t-2tdt-

f¹ 5

2 /(i⁴ + M²) dt = 2 ft⁴dt + 6 ft²dt = 2-_T+6-- + C =

£(z-3)^B/²+2(.r-3)³/² + C.

du

Пример 30.3.

. Получить формулу / = = In hi + vV² + a² I + С

i Vu² + a²

Q Обозначим £ = vV² + я² + « (подстановка Эйлера). Тогда 2u

dt =

a , j ;v. Vw² + a² + и = ян + du, т. e. or = , — du.

Vu² + a²

2y/u² + a

dt

dt

du

Отсюда

Vw² + a² v^/u²~Ta²+u *'

Стало быть,

Г ^du = /" - = In И + С = In |u + vWa²| + С. ■I Vu² +o'² J t

Пример 30.4. Найти f x ■ (x + 2)¹⁰⁰ dx. О Решение: Пусть x + 2 = t. Тогда x — t — 2, dx = dt. Имеем:

f x ■ (x + 2)¹⁰⁰ dx = f(t - 2) • t¹⁰⁰ dt = у *¹⁰¹ dt - 2 | *^1Г

dt

.101

, (x + 2)^1U2 2(x + 2)

102

101

102 ² ' 101 ^{+ 6}

101

+ C.

dx

/u,x* —j——.

dt

Q Решение: Обозначим e^ = t. Тогда x = \nt. dx = ^. Следовательно, dx- /■ ^ /• di /■ dt

r ax r — _ r at __ r at _

У e* + 1 ~ У t+ 1 ~ У t(t + l) ~ У t² +t ~ dt r d{t+±

+ t+±

+ C =

In

У (i)²-(t+^

24

t + \

+ C.

S\t + \V--\

In

= -In

-t

11 + 11 e^J + 1

= ln

Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов.

201