Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 29. Неопределенный интеграл 193

1. Понятие неопределенного интеграла 193

2. Свойства неопределенного интеграла 194

3. Таблица основных неопределенных интегралов 196

§ 30. Основные методы интегрирования 198

1. Метод непосредственного интегрирования 198

2. Метод интегрирования подстановкой (заменой перемен­ной) 200

30.3. Метод интегрирования по частям 202

§ 31. Интегрирование рациональных функций 203

1. Понятия о рациональных функциях 203

2. Интегрирование простейших рациональных дробей 208

3. Интегрирование рациональных дробей 210

§ 32. Интегрирование тригонометрических функций 212

1. Универсальная тригонометрическая подстановка 212

2. Интегралы типа / sin^m х ■ cos" xdx 213

3. Использование тригонометрических преобразований 214

§ 33. Интегрирование иррациональных функций 214

1. Квадратичные иррациональности 214

2. Дробно-линейная подстановка 216

3. Тригонометрическая подстановка 217

4. Интегралы типа / R(x; у/ах² +Ъх + с) dx 218

5. Интегрирование дифференциального бинома 218

§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы 219

Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы 221

§ 36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла 222

§ 37. Формула Ньютона-Лейбница 224

§ 38. Основные свойства определенного интеграла 226

§ 39. Вычисления определенного интеграла 230

1. Формула Ньютона-Лейбница 230

2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной) 230

3. Интегрирование по частям 231

4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметрич­ных пределах 233

§ 40. Несобственные интегралы 233

1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) 234

1. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл

II рода) 236

§41. Геометрические и физические приложения определенного ин­ теграла 237

41.1. Схемы применения определенного интеграла 237

7

2. Вычисление площадей плоских фигур 239

3. Вычисление длины дуги плоской кривой 242

4. Вычисление объема тела 245

5. Вычисление площади поверхности вращения 247

6. Механические приложения определенного интеграла 249

§ 42. Приближенное вычисление определенного интеграла 254

1. Формула прямоугольников 255

2. Формула трапеций 255

3. Формула парабол (Симпсона) 256

Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 43. Функции двух переменных 260

1. Основные понятия 260

2. Предел функции 261

3. Непрерывность функции двух переменных 262

4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну­той области 263

§ 44. Производные и дифференциалы функции нескольких перемен­ ных 263

44.1. Частные производные первого порядка и их геометриче­ ское истолкование 263

44.2. Частные производные высших порядков 265

44.3.Дифференцируемость и полный дифференциал функции.. 266

4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям 268

5. Дифференциалы высших порядков 268

6. Производная сложной функции. Полная производная 269

7. Инвариантность формы полного дифференциала 271

44.8. Дифференцирование неявной функции 271

§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 272

§ 46. Экстремум функции двух переменных 274

1. Основные понятия 274

2. Необходимые и достаточные условия экстремума 275

3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 277

Справочные материалы 279

Глава VII. Неопределенный интеграл

Лекции 25-28

§29. Неопределенный интеграл 29.1. Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функ­ции /(.с) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчи­сление¹ решает обратную задачу: найти функцию Fix). зная ее производ­ную F'(x) = fix) (или дифференциал). Искомую функцию F{x) называюi первообразной функции f{.r).

Функция F(x) называется первообразной функции fix) на интервале (а: Ь), если для любого х Е (а: Ь) выполняется равенство

F'{x) = f(x) (или dF(x) = fix) dx).

Например, первообразное функции у = х². х G К. является функция

Fix) = '-^-. ч'ак как

3

^F'W = (y) =S = fH-

Очевидно, что первообразными будут гакже любые функции

FH = у + С

где С постоянная, поскольку

,:t

F'ix)= (у+С')' = .г²=/^

'.)■ е

[ Теорема 29.1. Если функция F(.r) является первообразной функции /(.г) на (о; 6), то множество всех первообразных для fix) задается формулой F(.j-) + С, где С — постоянное число.

Q Функция F(.r) + С являеп-я первообразной fix). Действительно, iFix)+Cy=F'(x)=fix).

Пусть Ф(.г) некоторая другая, отличная от Fix), первообразная функции fix), I. е. Ф'(х) — fix). Тогда для любого х £ ia:b) имеем

(Ф(.г) - Fix))' = Ф'(.г) - F'(x) = /(,•) - /(.г) = 0.

А но означает (см. следствие 25.1), что

Ф(.г) - Fix) = С.

где С постоянное чисто. Следовательно. Ф(.г) = Fix) +С. Ш

19.3

Множество всех первообразных функций F(x) + С для /(.г) называ­ется неопределенным интегра­лом от функции f(x) и обознача­ется символом / fix) dx.

Таким образом, по определению

I f(x)dx = F(x) + C.

о

о

о

У	^ ^ ^sy = F(x) + Ci
	X
О	^ -^^_^/y = F(x) + C2
	^ \^_^/y = F(x) + C:i

Здесь f(x) называется подынте­ гральной функцией, f(x)dx — Рис.166. подынтегральным выражением, х — переменной интегрирова­ ния. / знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции назы­вается интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семей­ство «параллельных» кривых у = F(x) + С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 166). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (о; Ь) функция имеет на --этом промежутке первообразную», а следователь­но, и неопределенный интеграл.