31.3. Интегрирование рациональных дробей

Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформулиро­ вать общее правило интегрирования рациональных дробей. |/§\| 1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочле-

'—" на и правильной дроби;

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множи­тели. представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей:

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дро­бей.

Пример 31.7. Найти интеграл / ^:c" ₄⁺ f ⁴* % ⁴ dx.

J х + 2.г + 2х~

210

Q Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее це­лую часть путем деления числителя на знаменатель:

х5 + 2х3	4- 4х 4-4 + 4х + 4 -4х2	х4 + 2х3 + 2х2
х5 + 2х4 + 2х3 -2х4 - 2х4 - 4х3 -		х-2

4х³ + 4х² + 4х + 4 (остаток)

Получаем:

х⁵ + 2х³ + 4х + 4

24-

4х³ + 4х² + 4х + 4

х⁴ + 2х³ + 2х- х⁴ + 2а:³ + 2х²

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

4х³ 4- 4х² + 4х + 4 4х³ + 4х² + 4х + 4 А В Cx + D

= - + z^ +

х⁴ + 2х³ + 2х²

х² + 2х + 2'

х²{х² + 2х + 2)

4.т³ + 4х² + 4.т + 4 = Ах{х² 4- 2х + 2) + В(х² + 2х + 2) + (Сх + D)x², т. е.

4х³ + 4х² + 4х + 4 = (А + С)х³ + (2 А + В + D)x² + (2 А + 2В)х + 2В. Отсюда следует, что

| 2А + В + D = 4, 2А + 2В = 4, _к2В = 4. Находим: В - 2, А = О, С = 4, D = 2. Стало быть,

х^{2 +} х² + 2х + 2

4х³ + 4х² + 4х + 4 2 4х + 2

4x4-2 х² + 2х + 2'

4х + 2

_{2+4 +}

х⁴ 4- 2х³ + 2х² х⁵ + 2х³ + 4х + 4

= х

х⁴ + 2х³ + 2х² Интегрируем полученное равенство:

х^г> + 2х³ + 4х + 4

Г Х- 4- 2Х-' + 4х 4- 4 г/ 2 4х + 2 \ ,

/ ; ; т— dx = [X ~2-\ Н dx =

Г ±Х + 2 J (X 4- I)² 4- 1

4x4-2

J х⁴ + 2х³ + 2х² J\ х² х² +2x4-2/

2.7:

dx.

2 х J (

Обозначим х 4- 1 = t, тогда х = t — 1 и dx = dt. Таким образом

4х + 2

_{/(хЛ)2+иж=/}

4i - 4 + 2 f²4-l

rfi

<ft

icft

У f² 4- 1 У i² 4- 1

= 4 • - ln(i² + 1) - 2 arctg t + C =

= 2 ■ ln(x² + 2x + 2) - 2 arctg(x + 1) + С Следовательно,

т^ _i_ 27'³ 4- 4 г 4- 4 т² 2

/^:

' 7" T ._y-dx= —-2эт—+21n(x² + 2x+2)-2arctg(x + l) + C. • _x4 ₊₂,x-3 _{+ 2a}-2 2 x ^v ' ^{ы ;}

Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элемен­тарных функциях.

211

§32. Интегрирование тригонометрических функции 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригономе­ трических функций. Функцию с переменными sin .к и cos а*, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать B,(sm х; cos ж), где В знак рациональной функции. 2\] Вычисление неопределенных интегралов типа / /?(sin х; cos х) dx сво-

~" лптея к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой

rg jr = t. которая называется универсальной.

2tgf 2t 1-tgH 1-i²

Действительно, sin .г = ту-- = - -. cos a;

1 + tg² f 1 + f² ' """ ~ 1 + tg² § 1 + t² '

2

x — 2 arctg/. dx = dt. Поэтому

I *(«" ,; cos.) dx ₌ f_R(_<T^^)._Tl^_dt = fp_l(t)dtt

где П\ (I) рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма гро­моздкий. зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в за­висимое in oi свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1)ес;ш функция #(sinz;cosx) нечетна относительно sin.т. т.о. Н(— sin.r: cos.г) = — В.Ы'тх:cosx), то подстановка cos.r = t рационализи­рует шпеграл:

2. сети функция /?(sin.r; cos.r) нечетна относительна cos:/-, т.е. /?(sin.r: — cos .с) = — i?(sin х; cosx), то делается подстановка sin :г = t;

3. если функция B(shix; cos:/:) четна относительно sin.r и cos.r /i( — sin.r: — cos./') = Н(н'тх; cosx), то интеграл рационализируется подста­новкой tg.r = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид I U{tgx)dx.

/d'T ; •— . 3 + sin х + cos x

О Решение: Сделаем универсальную подстановку t = tg£. Тогда dx Idt .,;„,._ It ^ c₀s,r — Lzil^^ Следовательно,

—. sm.r _

1 + I² l+t~ 1 + t~

r d.r _ r 2dt _ r dt

.1 3 + sin j- +cos j- " ./ (Г+<²)(зТт^г + г^) ~ J *^Г

КЗ + & + Ш Jf²₊t₊2

<l{1 + h) 2 t + ± 2 l+2tg£ ;—=—~ = —7= arctg —7= (- С = —^ • arctg =—- + 0. •

212

Пример 32.2. Найти интеграл / = / -—Щ-^—.

Q Решение: Так как

1 1

Ш— sin.г; — cos х) = _: — = ^— = /?(sinx;cosx

sin² х

l + (-sinx)² 1 +

то полагаем tgx = t. Отсюда

dt . ₂ tg²x

,т = arctgf, ax = и sm а^- =

1 + f- ' 1 + tg² x 1 + £²

Поэтому

d(V2<)

М1 + '²)(1 + Щ1) J2_t² + 1 y/2J (y/2t)² + l

\ r- \ r-

= -7= arctg V2t + C = -p arctg(V2 tg x) + С • v2 v2

32.2. Интегралы типа f sin^m x - cosⁿ x dx

Для нахождения таких интегралов иепольчуются следующие приемы:

1. подстановка sinx = t, если п -- целое положительное нечетное число:

2. подстановка cosx = t, если т целое положительное нечетное чисто:

1. формулы понижения порядка: cos² х = k(1+cos2x). sin х —

— ~(1 -cos 2.r), sin x-cos х = ~ sin 2х. если ?п. и ». целые неотрицательные четные чиста;

4) подстановка tgx = t. если т + п сеть четное отрицательное целое

ЧИСЛО.

Пример 32.3. Найти интеграл I = sin'xcos⁵ хс/х.

О Решение: Применим подстановку sinx = t. Тогда х = arcsint, dx = ¹ dt. cosx = ч/Г¹⁷? и

l-f²

dt

1= ft* ■ (v/l -- /-')⁵ ■ y~ = Jt⁴(l-t²)'² dt = j(t⁴ - 2f + *⁸) Л =

= 2—H h С = - sm x sin x + - sin⁹ x + C. •

;j 7 9 5 7 9

Пример 32.J_t. Найти интеграл / = /sin xcos²xdx.

О Решение:

I — I (sin x cos x)² sin² x dx = / - sin² 2x • - (1 — cos 2x) dx =

If. 1 r

= - sin² 2x dx — - / sin² 2x cos 2x dx =

213

1 Г 1 1 r

о / о(* ~~ cos4x)dx - — / sin² 2xd(sin2x) 8 7 2 lo./

^•^X'-^^Sin4x-^^Sin'^42j' ^{+ C #}

Пример 32.5. Найти интеграл I = ^с1х- з = / cos ^! .г- • sin ³ x

dx.

О Решение: Здесь m + и = —4. Обозначим tgx = Л Тогда x = arctgf, dx = .-,, sin ж = —, ■, cosx —

i +1- Vi + t² Vi + r²

П+t? (s/\+t²)

= -^2 + In kl + С = -- ■ ctg² x + In j t.gxj + С •