Определение пути s(t), пройденного точкой по траектории

Путем, пройденным точкой за некоторый промежуток времени, называется скалярная, существенно положительная величина, определяемая пределом суммы бесконечно большого числа модулей приращений траекторных координат, отвечающих бесконечно малым промежуткам времени, на которые можно разбить рассматриваемый временной интервал, а именно:

(1.9)

Текущее значение пути , пройденного точкой по траектории, и траекторная координата точки по траектории s(t) могут совпадать (с точностью до знака), но только в случае, если начало отсчета пути соответствует такому моменту времени , при котором , и за рассматриваемый промежуток времени проекция скорости на касательную не меняла своего знака. Тогда можно записать

= . (1.10)

2. Скорость точки при различных способах задания ее движения

Определение: скоростью точки, отвечающей данному моменту времени, называется векторная физическая величина, полностью характеризующая движение точки в данный момент времени; изображается закрепленным в данной точке вектором.

1.2.1. Скорость точки при векторном способе задания ее движения

Дано:3 пункта векторного способа задания движения точки:

(1.1).

Определить: точки М

Пусть точка при движении по траектории в момент времени t совпадает с точкой М траектории и ее положение определяет радиус-вектор , проведенный в выбранной системе отсчета из неподвижной точки O, а в момент времени (t+ Δt)  с точкой М₁, которой соответствует радиус-вектор , (рис.1.6). Приращение радиус-вектора за промежуток времени Δt составит . Тогда среднее изменение радиус-вектора точки за промежуток времени Δt определяется как отно

шение , где  средняя скорость за время Δt.

Рис.1.6

Приращение радиус-вектора в данный момент времени, равный пределу изменения радиус-вектора точки, когда значение промежутка времени Δt стремится к нулю, называется скоростью точки в момент времени t. Такой предел есть производная от радиус-вектора точки по времени, т.е.

(1.11)

Вектор направлен по приращению радиус-вектора точки, т.е.

по направлению секущей ММ₁

При стремлении Δt к нулю секущая в пределе становится касательной к траектории в точке М, поэтому вектор направлен по касательной (рис.1.1 и рис.1.6).

Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от радиус-вектора точки и всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения точки, а ее численное значение определяется модулем . Единица измерения скорости в СИ  метр в секунду (м/c).

Путь S , пройденный точкой по траектории за промежуток времени

Δt = (t₂ – t₁) , можно определить и как предел суммы модулей приращений радиус-вектора точки за малые отрезки времени , на которые разбивается промежуток времени (t₂ – t₁), при условии, что (1.9):

(1.12)

 модуль скорости, выраженный в виде функции времени.