3.4.3. Пример выполнения расчетно-графической работы к2 Кинематика плоского движения

Постановка задачи: механизм состоит из кривошипов ОА и ВО₁Е, совершающих вращательное движение вокруг неподвижных шарниров: осей (Oz) и (O₁z₁) соответственно; двух шатунов АВ и EF, совершающих плоскопараллельное движение и ползуна F, движущегося поступательно по вертикальной направляющей.

Дано: OA=0,3 м; AB =1,0 м; О₁В=0,5 м;O₁E=0,4 м; О₁О=1,0 м; EF = 1,2 м;

 = 90;  = 0; = 30 об/мин

Определить: I. Скорости точек , , , и угловые скорости звеньев , , , .

II. Ускорения точек , , , и угловые ускорения звеньев , , , .

Решение:

Определение угловой скорости и углового ускорения звена ОА :

= 2 π 30/60 = π с^-1= const  0, O ; = 0.

I. Определение скоростей точек , , , и угловых скоростей звеньев , , , .

Принцип решения задачи состоит в том, что задано движение кривошипа ОА, а кривошип ОА и шатун АВ имеют общую точку А; аналогично имеют общую точку В ─ шатун АВ и кривошип ВО₁Е; общую точку Е ─ кривошип ВО₁Е и шатун EF; шатун EF и ползун F ─ общую точку F.

1─ =  0,3 = 0,3 , вектор направлен перпендикулярно ОА в сторону вращения кривошипа, т.е.  ОА в сторону .

2 ─ , откуда определяется величина угловой скорости звена АВ, где - мгновенный радиус, т.е. расстояние от точки А до мгновенного центра скоростей ─ шатуна АВ, который в данном случае лежит на пересечении перпендикуляров к линиям действия скоростей двух точек А и В шатуна АВ (скорость точки А известна и по величине и по направлению, и известна лишь линия действия скорости точки В шатуна АВ, а именно ─  О₁В, т.е. лежит в точке O₁, т.е. в точке пересечения перпендикуляров к линиям действия скоростей двух точек этого звена, восстановленных из этих точек. Таким образом, мгновенный радиус = ОА+ОО₁ = 1.3 м (либо можно снять с чертежа с учетом масштаба).

Приравнивая правые части формул (1 и 2), находим

3─ = 0,3 / 1,3 = 0.23  с^-1. Исходя из положения мгно-

венного центра скоростей шатуна АВ и направления скорости точки А─ , определяем, что вращение шатуна АВ происходит против хода часовой стрелки, т.е.  .

Рис.3.4.2

4─ = 0,23 0,5 = 0,115 ,

где = ВО₁ = 0.5 м. Вектор направлен перпендикулярно О₁В в сторону , т.е.  О₁В в сторону .

5─ , откуда определяется величина угловой скорости кривошипа ВО₁Е: = 0,115/ 0,5 = 0,23 с^-1;

 В .

6─ = 0,23 0,4 = 0.092 . Вектор направлен перпендикулярно О₁Е в сторону , т.е.  О₁Е в сторону .

7─ , откуда определяется величина угловой скорости звена EF, где - мгновенный радиус, т.е. расстояние от точки E до мгновенного центра скоростей ─ шатуна EF,который в данном случае лежит на пересечении перпендикуляров к линиям действия скоростей двух точек E и F шатуна EF (скорость точки E─ известна и по величине и по направлению, а у скорости другой точки шатуна, точки F ─ известна лишь ее линия действия, а именно вертикаль О₁F, т.е. = 1.47 м (снято с чертежа с учетом масштаба). Таким образом, приравнивая правые части формул (6 и 7), находим

8─ = 0,092  / 1,47 = 0.063 с^-1. Исходя из положения мгновенного центра скоростей шатуна EF и направления скорости точки E ─ , определяем, что вращение шатуна EF происходит против хода часовой стрелки, т.е.  .

9 ─ = 0.063  0,7=0.044 , где - мгновенный радиус, т.е. расстояние от точки F до мгновенного центра скоростей ─ шатуна EF, и = 0,7 м (снято с чертежа с учетом масштаба). Вектор направлен перпендикулярно в сторону , т.е.  в сторону , т.е. вниз по вертикали.

Ответ I: =0,3  =0,115  =0,092  = 0,044

= с^-1 =0,23 с^-1 =0,23 с^-1 =0,063 с^-1

II. Определение ускорений точек и угловых ускорений

звеньев , ,

10 ─ Ускорение точки А:

(  по условию задачи).

Вектор направлен от точки А по радиусу ОА к оси вращения кривошипа . м/с².

11─ Ускорение точки В шатуна АВ, совершающего плоскопараллельное движение, определяется аналитически методом полюса. За полюс рационально принимать ту точку этого звена, ускорение которой известно или легко можно определить. Очевидно, что такой точкой является точка А, принадлежащая одновременно кривошипу ОА и шатуну АВ, ускорение которой мы определили.

Приняв точку А за полюс, запишем уравнение (11), определяющее

ускорение точки В, принадлежащей шатуну АВ:

. (11)

В этом уравнении ускорение точки А известно и по модулю, и по направлению, ускорение всегда направлено от точки В по радиусу АВ к оси , проходящей через полюс А перпендикулярно плоскости и по модулю равно = =0,23²² = 0,053² м/с², ускорение направлено перпендикулярно АВ и по модулю равно  не известно, у ускорения точки В не известны ни величина, ни линия действия. Уравнение (11) с двумя неизвестными не решается.

12Но точка В принадлежит звену ВО₁Е, совершающего вращательное движение вокруг оси ,поэтому ее ускорение определяется как:

. (12)

В уравнении (12) ускорение всегда направлено от точки В по радиусу ВО₁ (к точке О₁₎, т.е. к оси вращения звена В О₁Е и по модулю равно = ==0,23²²  0,5= 0,026² м/с², ускорение направлено перпендикулярно ВО₁ и по модулю равно  не известно, т.е. у ускорения точки В не известны ни величина, ни линия действия. Уравнение (12) с двумя неизвестными тоже не решается.

Поскольку левые части уравнений (11) и (12) равны, то приравнивая правые части этих уравнений, получаем векторное уравнение (13):

13 = , (13)

где м/с² , = = 0,053² м/с²,

= = 0,026² м/с², направлено перпендикулярно АВ и по модулю равно  величина не известна,

направлено перпендикулярно ВО₁ и по модулю равно  но величина не известна.

Таким образом, векторное уравнение (13), где не известны величины двух векторов и , но известны их линии действия решается методом проецирования на такие оси координат:

13.1 , совпадающей с прямой ВО₁, чтобы =0, находим > 0

13.2 и , перпендикулярной к =ВО₁, (предварительно изобразив на схеме векторы, входящие в это уравнение, и замерив углы):

.

13.1Проекция векторного уравнения (13) на ось :

сos ₁  sin ₂   cos₂ = +0,

 0,743  0,053²0,438   0,899 = 0.026² ,

откуда находим = м/с²  0, т.е. направление этого вектора выбрано верно, и угловое ускорение определяется как .

Направление углового ускорения находим по направлению вектора , т.е. , т.е. против хода часовой стрелки, и показываем на схеме.

13.2Проекция векторного уравнения (13) на ось , перпендикулярную к =ВО₁:  sin ₁ + cos ₂   sin₂ = 0  ,

  0,669 + 0,053²0,899  0,174² 0,438 =  ,

откуда находим = м/с²  0, значит направление этого вектора выбрано верно,

и угловое ускорение .

Направление углового ускорения находим по направлению вектора

, т.е. , т.е. по ходу часовой стрелки, показываем на схеме .

14 Ускорение точки В :

= м/с². (14)

15─Ускорение точки Е: , гле

всегда направлено к точке О₁ , т.е. к оси вращения звена ВО₁Е и по модулю равно = = 0,23²²  0,4= 0,021² м/с²,

ускорение направлено перпендикулярно ЕО₁ в сторону

и величиной равной = м/с².

= м/с². (15)

16─ Ускорение точки F:

Ускорение точки F , принадлежащей шатуну EF, совершающего плоскопараллельное движение, определяется методом полюса. Приняв за полюс точку E, ускорение которой найдено, имеем

(16)

или с учетом того, что , получаем

. (16’)

В этом уравнении составляющие ускорения точки E известны и по модулю, и по направлению, ускорение всегда направлено к полюсу E и по модулю равно = =0,063²² 1,2 = 0,005² м/с²,

Ускорение направлено перпендикулярно EF и равно но величина его не известна, вектор ускорение точки F ─ не известен по модулю, но линия действия его известна ─ ось OY─ вертикаль OF.

Таким образом, уравнение (16’), где неизвестны величины двух векторов и , но известны их линии действия, решается методом проецирования этого векторного уравнение на такие оси^

16^’.1─ F, совпадающей с прямой EF_, чтобы =0, > 0;

16^’.2─ и F, перпендикулярную к F = EF, находим > 0,

(предварительно изобразив на схеме векторы, входящие в это уравнение, находим углы):

.

16^’.1─Проекция векторного уравнения (16^’) на ось F, перпендикулярную неизвестному вектору :

м/с²  0 ,

значит направление этого вектора выбрано верно.

16^’.2 ─ Проекция векторного уравнения (16^’) на ось F, перпендикулярную оси F и шатуну EF, имеем

откуда

0. Так как , то направление вектора выбрано правильно и

Направление углового ускорения находим по направлению вектора

, т.е. , по ходу часовой стрелки, и показываем на схеме.

Ответ I: = 0,3  =0,12  ₌0,09  = 0,04 

= с^-1 =0,23 с^-1 =0,23 с^-1 =0,06 с^-1;

II:

.

4. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (КОРАБЕЛЬНОГО НА ВОЛНЕНИИ ИЛИ СУХОПУТНОГО НА ГРУНТЕ НОСИТЕЛЕЙ) ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Выбор осей координат. Углы Крылова (корабельные

углы). Кинематические уравнения корабельного носителя

на волнении

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной точки называется такое его движение, при котором одна точка твердого тела или неизменно с ним связанная остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Его еще называют сферическим движением, поскольку траектория любой точки тела лежит на поверхности сферы с центром в неподвижной точке. Примером такого движения служит волчок, у которого остается неподвижной точка опоры.

Число степеней свободы свободно движущегося в пространстве твердого тела равно шести. Если во время движения тела одна его точка остается неподвижной, то число степеней свободы такого тела при его вращении вокруг этой неподвижной точки будет равно трем и для оценки его положения необходимо задать три независимых параметра. Сделать это можно различными способами. Например, А.Н. Крылов в качестве таких параметров предложил так называемые корабельные углы, определяющие положение твердого тела (корабля) относительно системы координат, связанной своим началом с его центром тяжести С (рис.4.1).

За оси неподвижной системы координат приняты CXYZ, а за оси жестко связанные с кораблем – Cxyz (рис.4.1). Ось СХ направлена от кормы к носу корабля, ось CZ – к его правому борту, а ось CY образует с ними правую систему координат (вертикально вверх).

Рис. 4.1

Положение подвижной системы координат Cxyz, неизменно связанной с кораблем, относительно неподвижной CXYZ для каждого момента времени определяется тремя углами Крылова: углом дифферента , углом крена , углом рыскания (рис. 4.2)..

Рис. 4.2

Как видно на рис. 4.2, плоскость CXY пересекает плоскость Cxy по некоторой прямой , образующей угол с осью CX и угол с осью Cx. Плоскость CYZ пересекает плоскость Cхy по линии Cy₁, образующей угол с осью Cy.

Рассмотрим переход от системы CXYZ к системе Cxyz, выполненный

с помощью трех поворотов (рис.4.3).

Рис.4.3

1  Первый поворот системы CXYZ вокруг третьей из координатных осей CZ на угол дифферента , в результате чего получим систему , причем Cz₁=CZ (рис.4.4) и (рис.4.5);

1.1) Формулы преобразования координат от CXYZ к связаны следующими соотношениями (рис.4.4):

X = x₁ cos   y₁ sin  + 0 ,

Y = x₁ sin  + y₁ cos  + 0 , (4.1)

Z = 0 + 0 + z₁ ,

Рис.4.4.

1.2)Формулы преобразования координат от CXYZ к в матричной форме (рис.4.5):

Рис.4.5.

или . (4.2)

Здесь  матрица, транспонированная к матрице , описывающей поворот системы CXYZ вокруг третьей из координатной осей оси СZ на угол дифферента  и называется поворотной матрицей:

. (4.3)

2 Второй поворот системы вокруг первой из координатных осей на угол крена , в результате чего получим систему , при этом , где ось - названа замечательной осью или линией узлов (рис.4.6) и (рис.4.7 *);

2.1) Формулы преобразования координат от системы к системе связаны следующими соотношениями (рис.4.6):

(4.4)

Рис.4.6.

2.2) Формулы преобразования координат от системы к системе

в матричной форме (рис.4.7)

или , (4.5)

где – матрица, транспонированная к матрице , задающей пре образование поворота от осей системы к осям системы

вокруг первой из координатных осей на угол крена , при этом

= =СЕ, и называется поворотной матрицей;

(4.6)

Рис.4.7.

3  Третий поворот системы вокруг второй из координатных осей на угол рыскания (рис.4.8) и (рис. 4.9*), причем , в результате чего приходим к системе Cxy связанной с твердым телом.

 3.1) Формулы преобразования координат от системы к системе Cxyz связаны следующими соотношениями (рис.4.8):

( 4.7)

Рис. 4.8.

Рис.4.9.

3.2) Формулы преобразования координат от системы к системе в матричной форме (рис.4.9):

или . (4.8)

Причем поворотная матрица – это матрица, транспонированная к матрице , задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы Cxyz на угол рыскания вокруг второй из координатных осей = , имеет вид

. (4.9)

Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат, жестко связанной с телом, и с ее же координатами X, Y, Z – в неподвижной системе координат можно установить взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат,

(4.10)

или в матричном виде

или , (4.11)

где углы Крылова являются некоторыми функциями времени: угол дифферента , угол крена , угол рыскания .

Матрица транспонирована к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы CXYZ к осям подвижной системы Cxyz, неизменно связанной с кораблем. Очевидно, что при движении тела координаты x, y, z остаются постоянными в отличие от координат X, Y, Z.

Подставляя в (4.2) соотношения (4.5) и (4.8), получаем:

. (4.12)

Сравнивая (4.11) и (4.12), находим, что искомая матрица является произведением трех поворотных матриц

= =

= =

. (4.13)

Подставляя в (4.2) соотношение (4.5), получаем промежуточное соотношение, которое может понадобиться в дальнейшем,

[X]= [x₂]. Промежуточная поворотная матрица = находится как произведение двух матриц поворота:

= =

= . (4.13a)