2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (или просто вращательным движением) называется такое его движение, при котором в теле можно выделить прямую, все точки которой будут оставаться неподвижными во все время движения. Эту прямую принимают за ось вращения (l) твердого тела. Для ее задания достаточно указать как минимум две неподвижные точки в теле А и В, через которые она про

ходит.

Д ля изучения вращательного движения выбираем две системы координат: неподвижную декартову систему координат OXYZ, неизменно

Рис.2.2.

связанную с выбранной системой отсчета, и подвижную систему координат Oxyz, жестко связанную с твердым телом, совместив оси, OZ ,Oz с осью вращения тела (рис.2.2).

Пусть в начальный момент времени оси координат подвижной и

неподвижной систем совпадали. Тогда положение вращающегося тела относительно неподвижной системы координат в любой текущий момент времени после начала движения однозначно определяется значением двугранного угла между неподвижной плоскостью OXZ и подвижной Oxz, вращающейся вместе с телом. Таким образом, при вращении вокруг неподвижной оси тело имеет одну степень свободы (s = 1), так как его положение в неподвижной системе координат определяется значением линейного угла . Кинематическое уравнение, определяющее изменение этого угла как функции времени, имеет вид

= , (2.1)

где  непрерывная дважды дифференцируемая функция времени, называемая законом вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

2.3.1 Угловая скорость и угловое ускорение тела

Угловой скоростью твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется векторная физическая величина, полностью характеризующая изменение угла поворота в данный момент времени как по величине, так и по направлению; изображается скользящим вдоль оси вращения вектором.

Пусть за время тело повернулось вокруг неподвижной оси на угол ; тогда средней алгебраической угловой скоростью вращения тела называется отношение

(2.2)

Предельное значение изменения угла поворота тела в данный момент времени при называют алгебраической величиной угловой скорости вращения тела в данный момент времени t:

(2.3)

Здесь  скалярная алгебраическая величина, которая может принимать положительные и отрицательные значения: при  0 вращение происходит против хода часовой стрелки и (рис.2.3,а);

При  0 по ходу часовой стрелки и (рис.2.4,б).

Угловую скорость можно определить и как вектор , расположенный на оси вращения и равный

(2.4)

где  единичные векторы, задающие положительное направление оси вращения , осей OZ неподвижной и Ozподвижной систем координат (рис.2.3).

Рис.2.3

На чертеже угол поворота тела, направление угловой скорости и углового ускорения часто условно изображают дуговыми стрелками. Хотя это не строго.

При этом  0, если с положительного направления оси вращения поворот тела кажется против хода часовой стрелки, и  0  по ходу часовой стрелки. Это соответствует так называемой правой декартовой системе координат. Угол измеряется в радианах, оборотах и т.д.

Проекция вектора угловой скорости на ось вращения Oz

(2.5)

т.е. она равна алгебраической величине угловой скорости вращения тела, если положительные направления отсчета угла и оси Oz соответствуют правой декартовой системе координат.

Числовое значение угловой скорости равно модулю вектора и опре

деляется как модуль алгебраической величины угловой скорости тела при его вращении вокруг неподвижной оси:

=

Единица измерения угловой скорости в СИ  радиан в секунду (рад/с). Если тело совершает n , то соответствующая угловая скорость в рад/с определяется по формуле

(2.6)

Угловым ускорением твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется векторная физическая величина, полностью характеризующая изменение только величины угловой скорости в данный момент времени; изображается скользящим вдоль оси вращения вектором.

Алгебраической величиной углового ускорением тела называется первая производная от алгебраической величины угловой скорости или вторая производная по времени от угла поворота вокруг неподвижной оси: (2.7)

Векторную величину угловое ускорение можно определить как

(2.8)

Проекция углового ускорения на ось вращения , или орт осей OZ=Оz

(2.9)

т.е. она равна алгебраическому угловому ускорению тела, если положительные направления отсчета угла и оси Oz соответствуют правой декартовой системе координат.

Значение (модуль) углового ускорения =

Единица измерения углового ускорения в СИ  радиан в секунду в квадрате (рад/с²).

Строго угловое ускорение изображается в виде скользящего вдоль оси вращения вектора и совпадающего по направлению с вектором угловой скорости (  ) при  0 вращение ускоренное или направленного в противоположную сторону (  ) при  0  вращение замедленное.

Если =const и  0  вращение равноускоренное;

если =const и  0  вращение равнозамедленное;

Для равнопеременного вращения :

а) закон изменения угловой скорости  (2.10)

б) закон равнопеременного вращения  (2.11)

Если , тело вращается равномерно, в этом случае = const и

закон равномерного вращения  . (2.12)