4.2.1.Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы

Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y, Z в неподвижной системе координат ОXYZ в соответствии с (4.10), взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат

и имеет вид (4.14)

или в матричном виде

или , (4.15)

где  матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом ) к осям подвижной системы Оxyz (с базисом ), неизменно связанной с телом.

Рис.4.14.

Транспонированная матрица получается путем замены в матрице строк на столбцы. Выражение находим из формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой:

, (4.16)

из которых две системы и  промежуточные.

1 Переход от осей системы OXYZ к осям системы осуществляется поворотом на угол прецессии вокруг второй из координатных осей (неподвижной) – оси прецессии системы , причем .

2 Переход от осей системы к осям системы осуществляется поворотом на угол нутации θ вокруг третьей из координатных осей оси - оси нутации системы , причем .

а б в

Рис.4.15

3 Переход от осей системы к осям системы осуществляется поворотом на угол  ротации (собственного вращения) вокруг второй из координатных осей  оси системы , причем .

Формулы преобразования координат получаем, рассмотрев переход от системы ОXYZ ( ) к системе Оxyz ( ), выполненный с помощью трех поворотов:

1 Первый поворот системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY оси прецессии на угол прецессии , в результате чего получим систему , причем (рис. 4.12;4.15.а; 4.16; 4.17).

1.1) Формулы преобразования координат от ОXYZ ( ) к связаны соотношениями (рис.4.16.)

X = x₁ cos  + 0 + z₁ sin  ,

Y = 0 + y₁ + 0 , (4.17)

Z =  x₁ sin  + 0 + z₁ cos  .

Рис.4.16.

1.2) Формулы преобразования координат от ОXYZ к в матричной форме (рис.4.17):

или , (4.18)

где поворотная матрица (4.19)

описывает поворот вокруг второй из координатных осей – неподвижной оси ОY на угол прецессии ψ. Следует отметить, что по структуре поворотная матрица совершенно аналогична матрице  (4.9),

Рис.4.17.

2 Второй поворот системы вокруг третьей из координатных осей  оси нутации на угол нутации , т.е.  , при этом (рис. 4.18; 4.19).

2.1) Формулы преобразования координат от к , как видно из рис. 4.18, связаны следующими соотношениями:

x₁ = x₂ cos   y₂ sin  + 0,

y₁ = x₂ sin  + y₂ cos  + 0, (4.20)

z₁ = 0 + 0 + z ₂,

Рис.4.18.

2.2) Формулы преобразования координат от к в матричной форме (рис.4.19):

или , (4.21)

где поворотная матрица (4.22)

Рис. 4.19.

описывает поворот вокруг третьей из координатных осей – оси на угол нутации , при этом . Следует отметить, что по структуре поворотная матрица совершенно аналогична матрице  (4.3).

3 Третий поворот системы вокруг опять второй из координатных осей  оси ротации на угол ротации (собственного вращения), т.е.  , при этом (рис. 4.15,в; 4.20^).

3.1) Формулы преобразования координат от к , как видно из рис. 4.15,в, связаны следующими соотношениями:

(4.23)

3.1) Формулы преобразования координат от к в матричной форме: (рис.4.12; 4.20 *)

Рис.4.20*

или , (4.24)

где поворотная матрица (4.25)

описывает поворот вокруг опять второй из координатных осей – оси ротации на угол ротации (собственного вращения), т.е.  , при этом (рис. 4.15,в; 4.20). . Следует отметить, что по структуре поворотная матрица (4.25) аналогична матрице  (4.19).

Подставляя в (4.8) соотношение (4.21), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем

, (4.26)

где промежуточная поворотная матрица находится как произведение двух матриц поворота,

=

(4.27)

Подставляя в (4.8) формулы (4.21) и (4.24), получаем

(4.28)

Сравнивая выражения (4.15) и (4.2), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (4.19), (4.22), (4.25):

или (4.29)

При заданном законе сферического движения выражения (4.15) и (4.29) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела.