3. Плоское движение твердого тела

3.1. Уравнения движения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении

Плоским, или плоскопараллельным, движением твердого тела называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных друг другу и параллельных некоторой неподвижной плоскости, называемой направляющей.

Это движение находит широкое применение в технике, поскольку звенья большинства механизмов и машин совершают в процессе их эксплуатации плоскопараллельное движение. Примерами такого движения могут служить качение шестерни с подвижной осью по другой непод

Рис.3.1

вижной шестерне; качение колеса по прямолинейной направляющей; движение шатуна кривошипно-шатунного механизма.

Для изучения плоского движения необходимо рассмотреть кинематические уравнения этого движения, методы вычисления скоростей и ускорений точек тела. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на одном перпендикуляре к направляющей плоскости Q_Н, например на перпендикуляре AB (рис.3.1), имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения, так как эта прямая, оставаясь всегда перпендикулярной к плоскости Q_Н, движется поступательно. Следовательно, для изучения движения точек, лежащих на рассматриваемой прямой, в соответствии с основной теоремой о поступательном движении достаточно знать движение одной из них, например А, которая называется в этом случае полюсом. Таким образом, плоское движение твердого тела полностью определяется движением плоской фигуры S, образованной пересечением тела любой плоскостью Q’, параллельной неподвиж

ной плоскости Q_Н.

Рис.3.2

Совместим плоскость OXY системы координат OXYZ с плоской фигурой S тела. Выделим два любых положения фигуры S, которая она занимает в процессе плоского движения (рис.3.2). Поскольку положение плоской фигуры S в плоскости Q’ относительно системы координат OXY определяется положением какого-либо отрезка АВ этой фигуры, то исследование движения плоской фигуры можно свести к изучению движения принадлежащего ей отрезка АВ. Как видно из рис.3.2, перемещение фигуры из одного положения в другое можно разложить на поступательное движение вместе с произвольной точкой А, называемой полюсом, и вращение в плоскости фигуры вокруг оси Oz’, параллельной оси OZ и проходящей через выбранный полюс. При поступательном движении отрезок АВ, перемещаясь параллельно самому себе, займет положение . Повернув отрезок на угол , совместим его с отрезком плоской фигуры в новом положении, обеспечив тем самым плоскопараллельное движение плоской фигуры. Аналогичный результат получается, если выбрать за полюс точку В.

Следует отметить, что если поступательная составляющая плоского движения тела в общем случае различна для разных точек тела, то величина и направление угла поворота плоской фигуры всегда одни и те же, т.е. они не зависят от выбора полюса.

Для изучения плоскопараллельного движения твердого тела выбираем три системы координат:

неподвижную декартову систему координат OXYZz, неизменно связанную с выбранной системой отсчета;

 подвижную систему координат P x’y’z’, имеющую начало в выбран

Рис.3.3

ном полюсе P и движущуюся поступательно вместе с полюсом;

 связанную с плоской фигурой систему координат Oxyz (рис.3.3).

Пусть в начальный момент времени оси координат связанной Oxyz и неподвивижной OXYZ систем совпадали. Тогда положение плоской фигуры относително неподвижной системы координат OXYZ в любой момент времени после начала движения однозначно определяется тремя непрерывными функциями времени t:

(3.1)

которые называются кинематическими уравнениями плоского движения твердого тела.

Таким образом, при плоскопараллельном движении тело имеет три степени свободы (s = 3).

В плоском движении вращение твердого тела вокруг оси , проходящей через выбранный полюс Р перпендикулярно плоскости плоской фигуры, характеризуется углом = . Как и при вращении тела вокруг неподвижной оси, за положительное направление отсчета угла принимается направление против хода часовой стрелки. По аналогии с вращательным движением тела вводятся понятия алгебраической величины угловой скорости и алгебраической величины углового ускорения плоского движения твердого тела:

(3.2)

Алгебраические величины и могут принимать положительные и отрицательные значения; они не зависят от выбора полюса.

При плоском движении твердого тела угловую скорость и угловое ускорение считают свободными векторами, направленными вдоль подвижной оси z’, перпендикулярной плоскости плоской фигуры. Направление вектора должно быть таким, чтобы с его конца вращение фигуры казалось против хода часовой стрелки. При ускоренном вращении направления и совпадают, при замедленном  противоположны. Поскольку выбор полюса произвольный, и являются свободными векторами.