4.2.2. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение. Кинематические уравнения Эйлера

Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:

– вектор угловой скорости прецессии;

– вектор угловой скорости нутации;

– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).

Здесь – единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно (рис.4.12; 4.20). Поскольку названные оси пересекаются в точке О, то абсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:

. (4.30)

Рис. 4.21.

Ось, совпадающая с вектором , является мгновенной осью вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени как по величине, так и по направлению. Это изменение определяется производной по времени от угловой скорости и называется мгновенным угловым ускорением тела:

(4.31)

и ли , где – составляющая , направленная вдоль мгновенной оси вращения и характеризующая изменение по величине; – составляющая , перпендикулярная вектору и характеризующая изменение по направлению (рис.4.22) .

Рис.4.22.

Вектор мгновенного углового ускорения будем откладывать от неподвижной точки О тела. Алгебраические величины проекций вектора (4.30) на оси подвижной системы координат (рис.4.12; 4.20), единичные орты которой соответственно,

. (4.32)

Согласно (4.30),

.

Разложение единичного вектора по базису , как следует из формул (4.15) и (4.25), таково:

. (4.33)

Единичный вектор как следует из (4.23) и (4.25), можно представить в виде

(4.34)

Подставляя (4.33), (4.34) в соотношение (4.30), получаем

(4.35)

Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (связанной с телом) системы координат будут равны

или 4.36)

Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела , углами Эйлера и их первыми производными по времени.

4.2.3. Скорость и ускорение точек тела. Формула Ривальса

С корость любой точки тела в случае его сферического движения можно найти из формулы Эйлера (см. 2.14): .

Рис. 4.23.

Модуль скорости точки тела , где h – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения (рис.4.23). Таким образом, при сферическом движении твердого тела вокруг неподвижной точки, как и при его вращении вокруг неподвижной оси, скорости точек тела в данный момент времени пропорциональны расстояниям h.

Вектор скорости точки тела перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и (заштрихованная плоскость на рис.4.23), т.е. перпендикулярен h и направлен по касательной к мгновенной траектории точки в сторону угловой скорости тела, вращающегося вокруг мгновенной оси.

Если в данный момент времени скорость точки тела , то ее ускорение .

С учетом векторной формулы Эйлера для определения скорости точки можно записать,

.

Поскольку , то

(4.37)

П олученное выражение называют формулой Ривальса. Ускорение

Рис.4.24.

есть геометрическая сумма двух составляющих: – вращательное ускорение; –осестремительное ускорение.

Таким образом, . (4.38)

Вектор вращательного ускорения направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и (заштрихованная плоскость на рис.4.24), так, что с конца вектора поворот от к кажется против хода часовой стрелки. Модуль вектора равен

, (4.39)

где h₁ – кратчайшее расстояние от точки до линии действия вектора углового ускорения в данный момент времени (рис.4.24).

Вектор осестремительного ускорения (рис.4.24) перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , и направлен от точки М по перпендикуляру, проведенному из нее на мгновенную ось вращения тела. Модуль вектора , учитывая (4.32) и то, что , равен

. (4.40)

Ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно геометрической сумме векторов вращательного и осестремительного ускорений.

Модуль ускорения

. (4.41)

Следует отметить, что формула Ривальса (4.37) аналогична формуле ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Но там векторы и перпендикулярны ( ) в отличие от формулы Ривальса.

В о п р о с ы для с а м о к о н т р о л я

1.Определение вращательного движения твердого тела вокруг непо движной точки.

2.Какими параметрами определяется положение твердого тела, одна из точек которого неподвижна?

3.Какие параметры (так называемые корабельные углы), предложены А.Н. Крыловым для определения движения корабельных носителей на волнении?

4.Что принято за начало неподвижной системы координат, относительно которой определяется положение (движение) корабельного носителя и связанной с ним подвижной системы координат (рис.4.1 и рис.4.2)

5.Формулы преобразования координат от связанной с кораблем системы координат к неподвижной системе координат.

6.Поворотные матрицы. Как определяется их структура?

7.В каких случаях рекомендуется использование углов Эйлера?

8.Какие параметры приняты за углы Эйлера. Какие оси называются осями прецессии, нутации, ротации (собственного вращения)?

9. Почему ось нутации называется линией узлов или замечательной осью.

10. Определение мгновенной оси вращения твердого тела с одной неподвижной точкой и каковы уравнения угловой скорости вращения в неподвижной и подвижной системах осей декартовых координат?

11. Уравнение мгновенной угловой скорости, выраженное как геометрическая сумма трех составляющих: угловых скоростей прецессии, нутации, ротации (и линии их действия).

12.Как определяется модуль, линия действия и направление углового ускорения тела при сферическом движении?

13.Почему направления векторов углового ускорения и угловой скорости тела при сферическом движении не совпадают?

14. Определение скоростей точек тела при сферическом движении.

Модули, линии действия и направления составляющих ускорения точки тела при сферическом движении.

15.Почему линии действия и направления векторов скорости точки и ее вращательного ускорения при сферическом движении тела не совпадают?

16.Какой частный случай вращения твердого тела , имеющего одну неподвижную точку, называется регулярной прецессией?