3.2.3. Определение положения мгновенного центра скоростей

1.Положение МЦС плоской фигуры в некоторых случаях, исходя из

ф изических соображений, удается сразу определить, когда например, качение без скольжения колеса по неподвижной прямой (рис. 3.6.1,а) или колеса по другому неподвижному колесу (рис. 3.6.1,б).

а Рис. 3.6.1 б

2.Положение МЦС может быть установлено с помощью геометрических построений. Если известны линии действия скоростей двух точек А и В фигуры (рис.3.6.2) и они не параллельны, то МЦС находится в точке

Рис.3.6.2

п ересечения перпендикуляров к линиям действия скоростей двух точек А и В , восстановленных из этих точек.

Рис.3.6.3.

3.Если точки А и В фигуры лежат на общем перпендикуляре и линии

действия скоростей этих точек параллельны (рис.3.6.3,а), или

(рис.3.6.3,б), но по модулю не равны, то МЦС находится в точке пересечения перпендикуляра с прямой, соединяющей концы векторов скоростей этих точек.

Рис.3.6.4.

4. Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны, направлены в одну сторону и равны между собой (рис.3.6.4) , то МЦС лежит в бесконечности, а угловая скорость плоской фигуры равна нулю , так как , то.

.

Такое движение тела называют случаем мгновенно-поступательного движения. При этом скорости всех точек плоской фигуры одинаковы как по направлению, так и по модулю. Однако ускорения точек будут различны.

Пример 3.1. Колесо радиуса R (рис. 3.7) катится без скольжения по

неподвижной прямой; скорость центра . Определить скорости точек A и B обода колеса методом мгновенного центра скоростей МЦС.

Решение. Поскольку колесо катится без скольжения, то точка находится в точке контакта обода с неподвижной прямой. Тогда, в соответствии с (3.7), угловая скорость колеса , а направление его вращения определяется направлением вектора относительно оси z’ ( , т.е. по ходу часовой стрелки). Поскольку мгновенные радиусы ВС_мцс= и АС_мцс = 2R, то

Векторы ско

ростей точек B и A обода колеса перпендикулярны мгновенным радиусам и направлены в сторону вращения колеса вокруг z’.

Рис.3.7

3.3.Ускорения точек тела при плоском движении методом полюса

Самый рациональный способ при определении ускорений точек плоской фигуры метод полюса. В разд.3.2.1 было получено соотношение

(3.4) между скоростями двух точек плоской фигуры методом полюса

(за полюс принята точка P)

Продифференцировав его по времени, получим

Рис.3.8

Здесь ,  ускорения точек P и M относительно неподвижной системы координат;

 ускорение точки M при вращательном движении плоской фигуры вокруг подвижной оси z’, проходящей через полюс P  P z’ перпендикулярно плоскости плоской фигуры, или просто вокруг полюса P. Таким образом,

, (3.8)

т.е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса, построенного при рассматриваемой точке, и ускорения этой точки при вращательном движении плоской фигуры вокруг оси z’, проходящей через полюс , перпендикулярно плоскости плоской фигуры.

Ускорение точки при вращательном движении плоской фигуры вокруг оси Pz’, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, состоит из вращательной  касательной (тангенциальной)

(3.9)

и осестремительной  нормальной составляющих:

, (3.10)

величины которых

(3.11)

Вращательное  касательное ускорение направлено перпендикулярно отрезку PM в сторону (рис.3.8).

Осестремительное  нормальное направлено от точки M по радиусу PM к оси вращения . Таким образом,

= =

(3.12)

Обозначив угол между ускорением и отрезком PM через ,

найдем (3.13)

Пример 3.2. Центр колеса радиуса R, катящегося без скольжения по неподвижной прямой (рис.3.9) движется в данный момент времени, имея ускорение . Угловая скорость и угловое ускорение колеса , .

О пределить: ускорения точек А, В и , расположенных на концах вертикального и горизонтального диаметров обода колеса.

Рис.3.9

Решение. За полюс примем точку С, ускорение которой задано. Тогда,

согласно (3.8 3.10), ускорение точки А

, где = = ;

= = .

Ускорение перпендикулярно отрезку СА и направлено в сторону углового ускорения ; а ускорение направлено от точки А к полюсу С. Составляющие искомого вектора показаны на (рис.3.9). Его величина

Аналогично рассуждая, находим ускорения для точек В и

соответственно:

= ; = ;

и

= ; = ;

Таким образом, ускорение точки колеса при его качении по неподвижному основанию не может быть равно нулю, поскольку осе-стремительная  нормальная составляющая ускорения = имеет не нулевое значение.

Пример 3.3. Определить угловое ускорение линейки АВ эллипсографа (рис.3.10), если заданы ее угловая скорость  и ускорение шарнира С кривошипа ОС  . Заданы также размеры звеньев и положение механизма в рассматриваемый момент времени.

Решение. За полюс линейки АВ примем шарнир С, ускорение которого задано. Тогда, согласно (3.8  3.10),

. (3.14*)

В этом векторном уравнении векторы и известны по мо

Рис.3.10

дулю и направлению: ( задано условием задачи, а

направлен от точки В к полюсу С). Что касается векторов и , величины их не известны, известны лишь их линии действия: (рис.3.10), а именно:

( перпендикулярен ВС, а линия действия - ось OY). Такое векторное уравнение (3,14*) решается методом проецирования на такие оси координат, например, 1на ось ОХ, перпендикулярную неизвестному вектору , тогда находим величину вектора , которая должна быть положительной, т.е. > 0 ,

2 на ось OY, находим величину вектора , которая должна быть положительной, т.е. >0, тогда направление вектора выбрано верно.

1 Проекция векторное уравнения (3,14*) на ось OX, полагая, что угловое ускорение линейки , т.е. против хода часовой стрелки,

В этом уравнении в силу принятого предварительно направления проекция вектора на ось Ox будет отрицательная. Отсюда находим или

.

Направление углового ускорения линейки эллипсографа определяется знаком . Если  0, то направление (рис.3.10) выбрано правильно, т.е. . При  0, наоборот, .

На рис.3.10 и .= 0, т.к. ,

а и ОС = ВС. Таким образом = 0 и = = 0

2 Проекция векторное уравнения (3,14*) на ось OY, полагая, что угловое ускорение линейки , т.е. против хода часовой стрелки,

Из последнего уравнения находим величину вектора , которая как видно из последнего уравнения положительная, т.е. >0, т.е. направление вектора выбрано верно. Но в связи с названными комментариями к п. 1), величина =0.