Частный случай задания движения точки в полярной системе координат

Полярная система координат может быть использована в случае

д вижения точки в некоторой плоскости, в которой выбирают расположе

Рис.1.4

ние полярной оси Оl (луча, проведенного на плоскости из некоторого

полюса О, неизменно связанных с выбранной системой отсчета). Положение точки в ней определяются скалярными величинами и 

(рис 1.4). Полярная координата  скалярный параметр, равный длине отрезка ОМ, т.е. расстоянию от начала координат (полюса О) до точки М. Полярный угол   это угол между полярной осью и линией

ОМ. При отсчете угла  за положительное принимают направление, противоположное направлению движения часовой стрелки.

Ортами полярной системы координат, составляющими ее базис, являются единичные векторы и (рис 1.4). Первый из них задает положительное направление радиальной оси Or и направлен из начала координат O к точке М. Второй из них определяет положительное направление трансверсали, т.е. поперечной оси Op, перпендикулярной радиальной оси, и находится путем поворота  на 90 против направления движения часовой стрелки. Орты полярной системы координат и являются подвижными, изменяющими свое направление с изменением угла  .

Для задания движения точки в полярной системе координат необходимо иметь уравнения движения в виде

(1.5)

Система уравнений (1.5) является одновременно параметрической формой записи уравнения траектории точки. Для получения уравнения траектории точки в канонической форме , необходимо из (1.5) исключить время t. В полярной системе координат радиус-вектор точки, приведенный из центра O, равен , и согласно (1.5), выражается как

(1.6)

Последнее уравнение (1.6) соответствует векторному уравнению движения точки в форме (1.1).

1.1.3. Траекторный (естественный) способ задания движения точки

Если известна траектория движения точки относительно выбранной системы отсчета (т.е. определена или графически, или с помощью уравнения или другим способом), то такой способ задания движения точки называется траекторным или (естественным) способом. Для однозначного определения положения точки в пространстве в любой момент времени необходимо:

• зафиксировать на траектории точку H – начала отсчета траекторной координаты,

• выбрать положительное и отрицательное направление траекторной координаты,

• указать закон движения точки по траектории в виде

s = s (t). (1.7)

Рис.1.5

Скалярный параметр s имеет смысл криволинейной (дуговой) координаты и называется траекторной координатой. Определение: траекторной координатой точки, отвечающей данному моменту времени t, называется отрезок дуги траектории, взятый со знаком «+» или «» в зависимости от того, по какую сторону от начала отсчета (точки H) находится точка M на траектории, величина (модуль) которого определяется расстоянием по траектории от (точки H) - начала отсчета траекторной координаты до текущего положения точки M (рис.1.5).

В выбранной системе отсчета, в которой определена в рассматриваемом случае траектория движения точки (рис.1.5), можно установить однозначную связь между значениями траекторной координаты s и радиус-вектором r точки M. Функциональная зависимость радиус-вектора точки от параметра s может быть представлена как

. (1.8)

Введем новое определение, (рис.1.6) назовем его вектором перемещения точки, отвечающему данному промежутку времени Δt, это закрепленный вектор, начало и конец которого совпадают с положениями точки в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени Δt.