- •Кинематика
- •Кинематика точки
- •Способы задания движения точки
- •Векторный способ задания движения точки
- •Координатный способ задания движения точки
- •Частный случай задания движения точки в полярной системе координат
- •1.1.3. Траекторный (естественный) способ задания движения точки
- •Определение пути s(t), пройденного точкой по траектории
- •Скорость точки при различных способах задания ее движения
- •1.2.1. Скорость точки при векторном способе задания ее движения
- •1.2.2. Скорость точки при координатном способе задания ее движения
- •1.2.3 Скорость точки при траекторном способе задания ее движения
- •1.3.2. Ускорение точки при координатном способе задания ее движения
- •Понятие о сопровождающем (естественном) трехграннике
- •1.3.3. Ускорение точки при естественном способе задания ее движения
- •Кинематические уравнения движения точки по траектории (закон скоростей и закон траекторных координат)
- •Способы задания движения точки и кинематические характеристики
- •Расчетно-графическая работа к 1 Кинематика точки
- •Простейшие движения твердого тела
- •2.1. Степени свободы
- •2.2. Поступательное движение твердого тела
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •2.3.1 Угловая скорость и угловое ускорение тела
- •2.3.2 Скорость и ускорение любой точки твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение твердого тела
- •3.1. Уравнения движения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении
- •3.2. Скорости точек твердого тела при плоском движении
- •3.2.1. Метод полюса
- •3.2.2. Метод мгновенного центра скоростей
- •3.2.3. Определение положения мгновенного центра скоростей
- •3.4. Расчетно-графическая работа к2 Кинематика плоского движения
- •3.4.1. Схемы конструкций и исходные данные
- •Продолжение табл.3.4.1
- •Окончание табл. 3.1.1
- •3.4.2. Указания и план выполнения
- •3.4.3. Пример выполнения расчетно-графической работы к2 Кинематика плоского движения
- •4.2. Углы Эйлера
- •4.2.1.Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы
- •4.2.2. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение. Кинематические уравнения Эйлера
- •4.2.3. Скорость и ускорение точек тела. Формула Ривальса
- •4.3. Расчетно-графическая работа к3 Кинематика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки (случай регулярной прецессии).
- •4.3.1.Схемы конструкций и исходные данные
- •4.3.2. Указания и план выполнения
- •4.3.3. Примеры выполнения расчетно-графической работы к3 (регулярная прецессия)
- •4.4. Общий случай движения твердого тела
- •6. Сложное движение точки
- •6.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки
- •6.2. Зависимости между скоростями и ускорениями точек в относительном, переносном и абсолютном движениях
- •6.3. Расчетно-графическая работа к4 Кинематика сложного движения точки при переносном вращательном движении
- •6.3.1. Схемы конструкций и исходные данные
- •6.3.2. Указания и план выполнения
- •6.3.3. Пример выполнения расчетно-графической работы к4 сложное движение точки при переносном вращательном движении
- •1. Кинематические характеристики точки м в относительном движении
- •2. Кинематические характеристики точки м в переносном вращательном движении
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Образец оформления титульного листа
- •Кинематика Расчетно-графическая (курсовая) работа
- •1. Кинематика точки……………………………………………..2
- •1.1. Способы задания движения точки…………………………………3
- •1.4. Кинематические уравнения движения точки по траектории (закон скоростей и закон траекторных координат) ……………15
- •6.2. Зависимости между скоростями и ускорениями точек в относительном, переносном и абсолютном движениях……
4.3.2. Указания и план выполнения
Случай регулярной прецессии – это такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис.4.3.2) во все время движения остаются постоянными:
угол нутации , поэтому ;
угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость
Рис.4.3.2
угловое ускорение .
1. Найти неподвижную точку О вращающегося тела, выбираемую за начало отсчета неподвижной и связанной координатных систем. Выбрать оси прецессии , ротации , нутации ( или ).
2. Определить угловые скорости нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость и мгновенную ось вращения .
В зависимости от задания движения твердого тела вектор можно определять двумя способами:
1) по ее составляющим ;
2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать . По известной скорости какой-либо точки М твердого тела и положению оси = находят величину : , где –перпендикуляр, опущенный из точки М на ось = .
3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.
4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле Эйлера , величина которой .
5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела по формуле , где вектор осестремительного ускорения, величина которого вектор вращательного ускорения, величина которого .
Так как всегда направлено от точки по радиусу к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается , то его следует находить только по векторной форме.
Поскольку при вращении тела около полюса вектор неколлинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна
.
. Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:
и , где – нормальное ускорение; – касательное ускорение; при регулярной прецессии .
Все векторы, лежащие в плоскости OXY (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.
4.3.3. Примеры выполнения расчетно-графической работы к3 (регулярная прецессия)
Пример 1. Дано. Конус 1 с углом 2 = 60 при вершине (рис.4.6.3) катится по неподвижному конусу 2 с углом 2=120 при вершине без скольжения, обегая последний 120 раз в минуту, при этом вершина О конуса 1 остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Высота конуса 1 ОС=10 см.
Определить. 1. Угол нутации , угловые скорости нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость .
2. Угловое ускорение конуса .
3. Скорости точек А, В, С
4. Ускорения точек А, В, С (найти осестремительное и вращательное ускорения точки С).
Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1 (рис.4.3.3) . Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.
1.Угол нутации , поскольку с конца оси нутации
ОЕ поворот от оси прецессии OY к оси ротации Oy кажется по часовой
стрелке;
Рис.4.3.3.
2. Величина угловой скорости прецессии .
Направление вектора определим в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае вращение конуса 1 вокруг оси прецессии происходит по часовой стрелке, поэтому (оси прецессии).
3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и их величины а именно: линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ось прецессии OY, линией действия вектора ось ротации Оy (рис.4.3.3). Таким образом, величина мгновенной угловой скорости , а величина угловой скорости ротации
4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор , так как с конца оси OZ=ОЕ поворот от вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки. Величина углового ускорения
рад/с2 .
5. Скорости точек конуса 1 (рис.4.3.4)
5.1) точка А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;
Рис.4.3.4
5.2) точка В , где ,
и вектор .
5.3) точка С I Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси. Поэтому
, (I)
где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси ; =
. Вектор , так как направление вектора совпадает с направлением мгновенной оси = ОА и вектор направлен таким образом, чтобы с конца этой оси = вращение конуса 1 казалось против хода часовой стрелки (рис.4.3.4).
II С другой стороны, поскольку точка С- центр основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то
, (II)
где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY, равное
,
6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений (рис.4.3.5) .
6.1) точка А: ; так как ,
где; м.
Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .
Таким образом, ;
6.2) точка В: ;
Рис.4.3.5
;
Вектор направлен от точки B радиусу к мгновенной оси вращения конуса 1 (рис.4.3.5).
, где м.
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .
Полное ускорение точки B найдем как диагональ прямоугольника, построенного на векторах :
6.3) точка С: I ;
.
Вектор направлен от точки С по радиусу к мгновенной оси вращения кoнуса 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону (рис.4.3.5);
II ;
Ответ. 1). =- /2; =0; 1/с; 1/с; 1/с.
2) 1/с2.
3). .
4) ;
; .
Пример 2 выполнения расчетно-графической работы К3
Дано. Конус 1 с углом 2=60 при вершине (рис. 4.3.6) катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2=120 при вершине, при этом вершина О конуса 1 остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной скоростью , причем =3 м/с, ОА=ОВ=2м.
Определить. 1. Угол нутации, угловую скорость нутации , прецессии , ротации , мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса 3. Скорости точек А и В , 4. Ускорения точек А, В, С , , , а также (найти осестремительное и вращательное ускорения точки С).
Рис. 4.3.6
Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.
2.1. Угол нутации , поскольку с конца оси нутации ОЕ поворот от оси прецессии OY к оси ротации Oy кажется против часовой стрелки; .
2.2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси.
Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку
(I)
где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси ;
, то
3, . Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точки О вдоль мгновенной оси = ОА вектор так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки (рис. 4.3.6).
С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то
(II)
где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY, равное .
Отсюда находим величину угловой скорости прецессии :
.
Направление вектора определим в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае вращение конуса 1 вокруг оси прецессии происходит по часовой стрелке, поэтому (оси прецессии).
2.3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно: ; линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ось прецессии OY, линией действия вектора ось ротации Оy (рис. 4.6). Таким образом, величина угловой скорости ротации
.
2.4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор , так как с конца оси OZ поворот от вектора к вектору кажется по ходу часовой стрелки; величина углового ускорения
рад/с2 .
2.5. Скорости точек конуса 1:
2.5.1) точка А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;
2.5.2)точка В , где , и вектор .
2.6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.
2.6.1) точки А: ; ; ;
; ,
где ; м.
Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .
Таким образом, ; .
2.6.2) точка В: ; ;
Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1 (рис. 4 3.6). Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону . Величины этих векторов: ; , где м.
Полное ускорение точки B найдем как диагональ прямоугольника, построенного на векторах :
2.6.3) точка С:
I) ; ; ;
.
Вектор направлен от точки С по радиусу к мгновенной оси вращения кoнуса 1.
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону (рис. 4.3.6);
II) ;
Ответ. 1. Угол нутации = /2; угловая скорость нутации ; прецессии 1/с; ротации 1/с; мгновенная угловая скорость 1/с.
2. Угловое ускорение конуса 1/с2.
3. Скорости точек А и В м/с. 4.Ускорения точек А, В, С /c2;
осестремительное ускорение точки С : м/с2;
вращательное ускорение точки С : м/с2.
Пример 3 выполнения расчетно-графической работы К3
Дано. Конус 1 с углом 2 при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2 при вершине в направлении, указанном стрелкой (рис.4.3.7). Высота конуса OC = h. Вращательное ускорение центра С основания конуса =0,48 м/с2, h=0,12 м, 2α = 120°,
2β = 60°.
Определить. 1. Угол нутации , угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса . 3. Скорости точек А, В, С: 4. Ускорения точек А, В, С: .
Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конус а 1 совпадает с образующей ОА.
3.1.Угол нутации: , так как с конца оси нутации ОZ=OE поворот от оси прецессии OY к оси ротации Оy кажется против часовой стрелки, .
Рис.4.3.7
3.2. Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1 вокруг оси прецессии OY, в данном случае – против часовой стрелки, поэтому ↑↑ .
3.3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величины угловых скоростей прецессии и ротации через мгновенную угловую скорость вращения . Так как линия действия вектора – ось прецессии OY, причем ↑↑ , линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора – ось ротации Оy, то из векторного равенства следует, что ↑↑ , а ↑↑ , а величины угловых скоростей прецессии и ротации равны 1/с = const, 1/с = const.
3.4.Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор , так как с конца оси OZ поворот вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки; величина углового ускорения
1/с2 .
С другой стороны, по условию задачи , где, , находим величину углового ускорения . Направление вектора указано в условии. Вектор лежит в плоскости (ВОА), перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону .
Таким образом, используя полученные равенства , , , находим величины 1/с, 1/с, 1/с.
3.5. Скорости точек конуса 1:
3.5.1)точка А: , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;
3.5.2) точка В: , где (рис. 4.7), и вектор ;
3.5.3) точка С. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси. Поэтому скорость точки С конуса 1 можно определить по двум формулам:
I) , где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси вращения , ; , .
С другой стороны, поскольку точка С центр основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то
II) , где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY , ; = .
3.6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.
3.6.1) точка А:
а) ; ; ;
так как ;
;
.
Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону . Таким образом, м/с2.
3.6.2) точка В: ; ; .
Вектор направлен от точки B по радиусу к мгновенной оси вращения конуса 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .
.
Полное ускорение точки B найдем через его проекции на оси дополнительной системы координат , лежащей в плоскости (BOA), как
:
м/с2;
м/с2.
3.6.3) точка С:
I) ; ; ;
м/с2;
.
Вектор направлен от точки С по радиусу к мгновенной оси вращения конуса. Направление вектора указано в условии задачи. Вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону ;
II)
Так как в данной задаче для контроля правильности решения величину вектора можно получить как
м/с2.
Ответ. 1. Угол нутации = /2; угловая скорость нутации ; угловые скорости прецессии рад /с; ротации рад /с; мгновенная угловая скорость = 4 рад/с.
2. Угловое ускорение конуса рад/с2.
3. Скорости точек А, В, С: =0; ; м/с.
4. Ускорения точек А, В, С: = 0,96 м/с2; = 4,4 м/с2;
= 1,44 м/с2.
5. Осестремительное ускорение точки С: = 0,96 м/с2 ,
вращательное ускорение задано.