5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив

Розглянемо тепер випадок, коли підмножина припустимих альтернатив також нечітка.

Нехай Х – універсальна множина альтернатив. В Х подана нечітка підмножина допустимих альтернатив із функцією належності . Подане на Х нечітке відношення переваги позначаємо .

У задачах зі звичайною множиною допустимих альтернатив вибір раціональної альтернативи визначається лише поданими на Х нечіткими відношеннями переваги. Але тепер нам необхідно враховувати ще й степінь належності альтернативи до множини допустимих альтернатив. Перевагу слід віддавати тим альтернативам, яким відповідає більше значення функції .

Це можна врахувати таким чином. Визначимо відношення переваги, що породжується функцією таким чином:

Тим самим задача зводиться до постановки, що була описана у попередньому розділі і для її розв’язування ми можемо використовувати описану там процедуру.

5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак

Нехай задано множину альтернатив X і множину ознак (або експертів) P. Кожній альтернативі . Кожній альтернативі хХ в тій чи іншій степені притаманна кожна ознака з множини Р. Для кожної фіксованої ознаки рР відомо нечітке відношення переваги на множині альтернатив Х, тобто відомо функцію належності : , значення (х₁, х₂, р) якої означає степінь переваги альтернативи х₁ альтернативі х₂ за ознакою р. Якщо Р – множина експертів то (х₁, х₂, р) – відношення переваги на множині альтернатив, яке пропонується експертом р. Таким чином, функція описує родину нечітких відношень переваги на множині Х за параметром р.

Елементи множини Р, різняться за важливістю. Нехай : – задане нечітке відношення важливості ознак; величина (р₁, р₂) означає степінь, з якою ознака р₁ вважається не менш важливим, ніж ознака р₂.

Задача полягає у раціональному виборі з множини Х з врахуванням описаної вище інформації.

Розглянемо один з можливих підходів до розв’язування цієї задачі.

Нехай (х, р) – нечітка підмножина недомінованих альтернатив, яка відповідає нечіткому відношенню переваги (х₁, х₂, р) для фіксованої ознаки рР, тобто

(5.41)

Якщо вибір альтернатив виконувався тільки з врахуванням єдиної ознаки р, то раціональним потрібно було би вважати вибір альтернатив, які доставляють найбільше значення функції належності (степінь недомінуємості) на множині Х. Але в даному випадку необхідно обирати альтернативу з врахуванням сукупності ознак, які різняться важливістю.

При фіксованому х₀Х функція описує нечітку підмножину ознак, за якими х₀ є недомінуємою. Ясно, що якщо для двох альтернатив х₁ та х₂ нечітка множина «не менш важлива», ніж нечітка множина ознак , то и альтернативу х₁ слід вважати не менш прийнятною, ніж альтернатива х₂. Таким чином, ситуація в даному випадку аналогічна той, що розглядалася при аналізі задачі нечіткого математичного програмування в п.???

Отже, в даному випадку необхідно узагальнити подану нечітку підмножину множини Р і вважати отримане нечітке відношення результуючим відношенням переваги на множині альтернатив Х.

Згідно ???? відношення переваги на Х, що породжено функцією й нечітким відношенням :

. (5.42)

Це нечітке відношення переваги можна вважати результатом «згортки» родини нечітких відношень в єдине результуюче нечітке відношення переваги, з врахуванням інформації про відносну важливість критеріїв, яка задана у формі нечіткого відношення переваги.

Побудовою нечітке відношення переваги вихідна задача вибору зведена до задачі вибору з єдиним відношенням переваги. Для її розв’язування достатньо визначити відповідну відношенню , скореговану нечітку множину альтернатив, які не домінуються й обрати альтернативи, які доставляють максимум функції

Розглянемо приклади, який ілюструє описаний підхід.

П р и к л а д  5.8. (Чіткі відношення). Нехай Х ={х₁, х₂, х₃, х₄} – задане множина альтернатив. Альтернативи порівнюються між собою за трьома ознаками А, В, С. Результати порівняння альтернатив за кожною ознакою описуються такими матрицями відношень нестрогої переваги:

за ознакою А:

	x1	x2	x3	x4
x1	1	0	1	1
x2	1	1	1	1
x3	0	0	1	0
x4	1	0	1	1 ,

за ознакою В:

	x1	x2	x3	x4
x1	1	1	0	1
x2	0	1	1	0
x3	0	0	1	0
x4	0	1	1	1,

за ознакою С:

	x1	x2	x3	x4
x1	1	0	1	1
x2	0	1	0	1
x3	1	0	1	1
x4	0	0	0	1.

Відношення відносної важливості ознак описується матрицею:

	A	B	C
A	1	1	1
B	1	1	1
C	0	0	1.

З цієї матриці видно, що ознаки А та В еквівалентні одна одній і кожна з них важливіша за ознаку С.

Згідно з описаним підходом визначимо множину альтернатив, які не домінуються за кожною з ознак. у результаті отримаємо:

;

.

Тобто недомінуємими альтернативами є:

• за ознакою А – альтернатива х₂;

• за ознакою В – альтернатива х₁;

• за ознакою С – альтернатива х₁, х₂, х₃.

Далі, за формулою (5.42), отримуємо матрицю відношення переваги на множині альтернатив:

	x1	x2	x3	x4
x1	1	1	1	0
x2	1	1	1	0
x3	0	0	1	0
x4	0	0	0	0

й за формулою (5.41) – відповідну множину альтернатив, які не домінуються (не скореговану):

.

Й нарешті, за формулою знаходимо скореговану множину недомінованих альтернатив.

Таким чином, отримуємо, що раціональним у даній задачі слід вважати вибір альтернативи х₁ або х₂. зауважимо, що ці альтернативи є недомінованими за ознаками А та В , які є найбільш (однаково) важливими.

П р и к л а д  5.9. (нечіткі відношення). розглянемо таку задачу. Некто (л. п. р.) должен остановить свой выбор на одной из четырех моделей мужского костюма А, Б, В, Г. Не полагаясь целиком на свой вкус, он пригласил четырех советчиков (экспертов) Э1, Э2, Э3, Э4, причем к мнениям советчиков л. п. р. относится по-разному: к мнению одного советчика прислушивается в некоторой степени больше, чем к мнению другого. Пусть относительные важности мнений советчиков л. п. р. описывает с помощью матрицы нечеткого отношения «не менее важно» следующего вида:

	Э1	Э2	Э3	Э4
Э1	1	0,4	0,6	0
Э2	1	1	0,8	1
Э3	0,2	1	1	1
Э4	0,8	0	0	1

За думками експертів, відношення переваги між моделями описуються функціями належності виду:

Э2	А	Б	В	Г
А	1	0,4	0,5	0,3
Б	0,8	1	0,8	0,8
В	0,5	1	1	0
Г	0,8	0	0	1

Э1	А	Б	В	Г
А	1	0,8	1	0
Б	0	1	0,2	1
В	0	0,8	1	0
Г	0	0	0	1

Э4	А	Б	В	Г
А	1	1	0,9	0
Б	0	1	1	1
В	0,4	0	1	0
Г	0	0	0	1

Э3	А	Б	В	Г
А	1	0	0,8	0
Б	0	1	0	0
В	0,1	0	1	0,4
Г	1	0	1	1

Розв’язування

Знайдемо нечіткі множини альтернатив, що не домінуються за кожною ознакою:

	А	Б	В	Г
	1	0,2	0	0
	0,3	1	0,5	0,2
	0	0	0,3	1
	1	0	0	0

Далі знаходимо нечітке відношення переваги , визначене на множині функціями й нечітким відношенням :

	А	Б	В	Г
А	1	0,4	0,4	1
Б	1	1	0,5	0,8
В	0,5	0,5	0,5	0,5
Г	1	1	0,5	1

Зрештою, визначаємо відповідну відношенню нечітку множину альтернати, що не домінуються:

,

і уточнюємо його з врахуванням (4,3,2б):

.

найбільшу степінь недомінованості має , тому вибір цієї моделі можна вважати раціональним.

Якщо найбільшу степінь недомінованості має не одна а декілька альтернатив, то ОПР може або сама обрати одну з них, виходячі з якихось додаткових міркувань, або розширити круг експертів і знов розв’язати задачу, як описано вище.