- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
Поняття ефективного рішення є прямим узагальненням поняття точки максимуму числової функції на випадок декількох функцій.
Як правило, в прикладних задачах множина таких рішень виявляється не порожньою і, більш того, зовнішньо стійкою, і тому оптимальні рішення повинні вибиратися серед ефективних альтернатив.
Проте, якщо в однокритеріальній задачі як оптимальне можна брати будь-яке рішення, на якому критерій досягає максимуму, (оскільки вони еквівалентні), то в багатокритеріальній задачі, як правило, множина ефективних рішень виявляється дуже багатою нееквівалентними (і змістовно суттєво різними) рішеннями, і для осмисленого вибору оптимального рішення необхідно залучити більш повну інформацію про переваги.
І, тим не менше, поняття ефективного рішення грає найважливішу роль в теорії багатокритеріальної оптимізації.
Хоча ефективне рішення за звичай далеко не єдине, але все ж таки множина ефективних рішень значно вужча, ніж вихідна множина всіх рішень. Тому побудова множини ефективних рішень (або їх оцінок) є першим етапом великого числа процедур і методів багатокритеріальної оптимізації.
В разі наявності лише двох або трьох критеріїв множину ефективних оцінок можна зобразити графічно. Тому при аналізі двох, а інколи і трьохкритеріальних задач нерідко найзручніше обирати оптимальне рішення безпосередньо на основі розгляду графіку ефективних оцінок.
Такий підхід лежить, наприклад, в основі методу «вартість – ефективність».
Один з варіантів цього методу полягає в тому, що
-
кожен зразок оцінюється по двох критеріях: вартості виробництва В і ефективності виконання поставлених задач Е. Значення цих критеріїв розраховуються за спеціально розрахованими методиками.
-
будується графік оцінок, відповідних всім даним зразкам, а з| нього виділяються ті зразки, серед яких вибирається оптимальний
-
остаточний вибір здійснюється ОПР на підставі аналізу графіка, оскільки він показує, якою ціною досягається підвищення ефективності.
Рис. 3.3. Графік оцінок проектів у методі «вартість – ефективність»
П р и к л а д 3.3. Нехай необхідно порівняти 6 проектів за критеріями «вартість–ефективність». Графік оцінок проектів наведено на рис. 3.3.
Оскільки критерій В (вартість) бажано мінімізувати, а критерій Е (ефективність) – максимізувати, то, як видно з графіку, перевагу мають проекти 1, 4, 3.
Звуження множини вибору до множини ефективних рішень (або деякої її підмножини) важливе не лише само по собі, але ще й тому, що на вужчій підмножині можуть виконуватися різного роду припущення, які спрощують подальший аналіз. Крім того ефективні рішення можуть мати цікаві і практично важливі властивості, яких немає у інших рішень.
П р и к л а д 3.4. Нехай є n галузей, зайнятих виробництвом n предметів (продуктів) споживання. Кожна галузь може виробляти один продукт, але за допомогою декількох виробничих процесів.
Позначимо через і – множину виробничих процесів, доступних і-й галузі; множину і будемо вважати скінченною.
Якщо прийняти загальну кількість трудових ресурсів за одиницю, то інтенсивність роботи і-ої галузі можна охарактеризувати величиною ui 0, яка показує долю наявних трудових ресурсів, що використовуються в цій галузі. Ясно, що при повному використанні трудових ресурсів . Вектор u = (u1, u2, … , un) складові якого ненегативні і в сумі дорівнюють одиниці назвемо здійсненним.
Нехай – кількість j-го продукту, що виробляється і-ою галуззю, коли вона функціонує з одиничним рівнем інтенсивності (ui = 1) і застосовується процес ii.
Припускаємо, що для i j, але > 0. Негативні інтерпретуються як кількість матеріалів (продуктів), що витрачаються у виробництві.
Вказане припущення про знаки означає, що кожна галузь може використовувати всі види матеріалів, тоді як виробляє лише| один продукт.
Вектор = (, , … ) – називається вектором-процесом і-ої галузі.
Кожному виробничому процесу хі відповідає свій вектор-процес.
Якщо для кожної галузі вибрано виробничий процес, тобто якщо зафіксовано набір = (1, 2, … , п), то чистий випуск продукту j всією системою буде
Квадратну матрицю, рядками якої є вектор-процеси, , i = 1, 2, … n, позначатимемо через А. Тоді j-я компонента вектора c = uА, є чистим випуском продукту j для фіксованого і здійсненного вектора u.
Нехай А – множина матриць А кожна з яких відповідає певному набору = (1, 2, … , п), де i i. Вектор (векторна оцінка) с = (с1, c2 … , сп) називається таким, що реалізовується (або досяжним) якщо c = uА, для деякої матриці Аl і здійсненного вектора u.
Особливо цікаві вектори с = (с1, c2 … , сп), що реалізовуються, компоненти яких позитивні. Дійсно, якщо існує вектор с, що реалізовується , причому cj > 0, j = 1, 2, … n, то це означає, що можна так організувати виробництво всіх продуктів, що кожна галузь вироблятиме продукту більше, ніж його потрібно для споживання всіма іншими галузями.
Розглянемо геометричну інтерпретацію цієї моделі.
Кожен вектор-процес можна подати у вигляді точки простору Еn. Матриці Аl відповідає п таких точок (по одній для кожної галузі).
Вектор , є, вочевидь, точкою опуклої оболонки n векторів-процесів.
Таким чином множина векторів, що реалізовуються, с є об'єднанням опуклих оболонок векторів , які створюють матриці Аl А.
Для ілюстрації розглянемо простий приклад з числовими даними.
П р и к л а д 3.5. Нехай в попередній задачі n = 2, 1 = {1,2}, 2 = {1,2,3}, a11 = (2; –1), a12 = (3/2; –2), a21 = (–1; 1/2), a22 = (–2; 3), a23 = (–4; 4).
Задача найкращого використання виробничих і трудових ресурсів полягає в тому, щоб забезпечити по можливості найбільший випуск всіх п продуктів, що виробляються галузями.
Розв’язування
Зобразимо на графіку (рис. 3.4) точки, які відповідають векторам-процесам . У нашому прикладі це точки a11 = (2; –1), a12 = (3/2; –2), a21 = (–1; 1/2), a22 = (–2; 3), a23 = (–4; 4).
Опуклим оболонкам цих векторів (тобто векторам с ) відповідають відрізки, які з’єднують ці точки.
Рис.
3.4. Графічна ілюстрація до прикладу
3.5.
Таким чином, план x = {, u}, де – виробничі процеси, и – здійсненний вектор, характеризується векторним критерієм с(х) = (с1(х), … , сn(х)), де сj – чистий випуск j-го продукту.
План х* називається ефективним, якщо не існує здійсненного вектора и і матриці А*, для яких с(х) сj(х*), причому принаймні одна з цих нерівностей – строга. Вектор с(х*), що відповідає ефективному плану х*, також називається ефективним.
Структура ефективних векторів з позитивними компонентами характеризується таким твердженням: якщо існує вектор, що реалізовується, з позитивними компонентами, то всі ефективні вектори з позитивними компонентами лежать в опуклій оболонці вектор процесів , що складають матрицю А′ А, і кожна точка цієї опуклої оболонки, що знаходиться в позитивному октанті є ефективним вектором.
Тобто, якщо є допустимий план, що забезпечує випуск кожного продукту з лишком, то для кожної галузі є певний виробничий процес (що входить в набір ′), що дозволяє отримати всі ефективні вектори з позитивними компонентами лише за рахунок перерозподілу трудових ресурсів.
Іншими словами, будь-який ефективний план, що забезпечує випуск кожного продукту з лишком, або має вигляд (, u), де u – деякий здійсненний вектор, або еквівалентний плану вказаного виду.