4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості

Поставимо питання яка звичайна підмножина (або підмножини) A знаходиться на найменшій евклідовій відстані від даної нечіткої множини A. Легко бачити, що це буде звичайна підмножина (яка позначається ) така, що

(4.39)

Для визначеності приймемо, що =0, якщо . Отже, маємо таке означення.

О з н а ч е н н я  4.12. Найближчою звичайною множиною до нечіткої множини A називається множина з функцією належності

(4.40)

П р и к л а д  4.20. Нехай E = { x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ }, , і

.

Тоді маємо .

Використовуючи введені раніше поняття відстаней для нечітких підмножин, визначимо два індекси нечіткості.

Лінійний індекс нечіткості, визначається через узагальнену відносну відстань Хеммінга таким чином:

. (4.41)

Квадратичний індекс нечіткості визначається через відносну евклідову відстань

. (4.42)

Число 2 в чисельнику для того, щоб одержати

, (4.43)

. (4.44)

Коли ,

. (4.45)

Геометричну інтерпретацію найближчої звичайної множини та індексу нечіткості видно з рис. 4.11. Тут товстою лінією позначено функцію належності найближчої звичайної множини до нечіткої множини A з функцією належності . Лінійний індекс нечіткості – це нормалізована площа заштрихованої фігури.

Рис. 4.11. Геометрична інтерпретація індексу нечіткості

Індекси нечіткості можна визначити і іншим способом

, (4.46)

. (4.47)

Дійсно, для будь-якого :

. (4.48)

Тоді формулу (4.41) для лінійного індексу нечіткості можна переписати у зручному вигляді:

. (4.49)

з формули 4.49 очевидно, що .

П р и к л а д  4.21. Нехай E = { x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ }, ,

Обчислимо індекс нечіткості множини А. Для цього спочатку визначимо :

.

Тепер обчислимо :

Нехай A та B  дві нечіткі підмножини E. Як співвідносяться індекси нечіткості перерізу та обєднання цих нечітких підмножин з індексами нечіткості вихідних підмножин.

Розглянемо приклади.

П р и к л а д  4.22. Нехай . Обчислимо індекси нечіткості вихідних множин та їх перерізу.

.

.

Ми отримали, що індекс нечіткості перерізу менший за індекси нечіткості вихідних підмножин.

П р и к л а д  4.23. Нехай , . Обчислимо індекси нечіткості для цих множин та їх перерізу.

,

,

,

.

У цьому прикладі індекс нечіткості перерізу більший за індекси нечіткості вихідних підмножин.

Таким чином, ми бачимо, що індекс нечіткості перерізу підмножин A та B може бути як меншим, так і більшим за індекси нечіткості вихідних підмножин. Теж саме можна сказати і про обєднання нечітких підмножин. Це буде вірним і для квадратичного індексу нечіткості.