4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення

У багатьох задачах прийняття рішень виникає необхідність розширення області визначення Х поданого відображення або відношення, включивши до неї поряд з елементами множини Х довільні елементи нечіткої підмножини цієї множини.

Наприклад, на множині управлінь U зафіксовано відображення , яке описує функціонування системи, що керується. Образ управління – це реакція даної системи на обирання цього управління. Якщо вибране управління описане нечітко, наприклад, у формі нечіткої підмножини множини управлінь U, то для відшукання реакції системи на таке управління необхідно визначити образ при відображенні f.

Спосіб розширення області визначення відображення на клас нечітких множин називається принципом узагальнення.

Л.А. Заде запропонував принцип узагальнення, який базується на визначенні образа нечіткої множини при звичайному (чітко описаному) відображенні.

Нехай – подане відображення і нехай А – деяка підмножина множини Х з функцією належності .

О з н а ч е н н я  4.35. Образ множини А при відображенні визначається як нечітка підмножина множини Y, що є сукупністю таких пар

, ,

де – функція належності образу.

Легко зрозуміти, що функцію належності можна записати у такому вигляді:

, (4.57)

де множина для кожного фіксованого має вигляд

,

тобто є множиною всіх елементів , образом кожного з яких при відображенні буде елемент y.

П р и к л а д  4.42. Нехай множина , . Відображення подано таблицею

На множині Х задамо нечітку підмножину А.

Знайдемо образ В нечіткої підмножини А при відображенні . Згідно з означенням, маємо:

,

,

i тоді

.

Аналогічно маємо

,

.

Таким чином, образом множини А при відображенні буде така множина :

.

Застосуємо тепер принцип узагальнення для розширення області визначення нечіткого відображення.

Нечітке відображення можна описати як відображення, при якому кожному елементу ставиться у відповідність елемент множини Y, взагалі, нечіткої підмножини Y. Описується нечітке відображення функцією належності вигляду: так, що функція при фіксованому є функцією належності нечіткої множини в Y, що є образом елемента х₀ при даному відображені.

Отже, нехай – дане нечітке відображення та нехай – подана нечітка множина в Х. Якщо застосувати принцип узагальнення у вигляді (4.57) для відшукання образа цієї нечіткої множини при відображенні , то отримаємо сукупність пар вигляду

де при кожному фіксованому х подає скінченну підмножину множини Y.

У результаті отримаємо, що образ нечіткої множини у даному випадку є достатньо складним об’єктом, а саме нечітким підкласом всіх нечітких підмножин множини Y. Тому, введемо тут принцип узагальнення в іншій формі.

О з н а ч е н н я  4.36. Образом В нечіткої множини А в Х при нечіткому відображенні називається нечітка множина з функцією належності

. (4.58)

В основі цього визначення полягає максимінний добуток (композиція) нечітких відношень.

Коли - звичайне відношення, тобто , при визначення (4.58) співпадає з (4.57).

У багатьох випадках подане нечітке відображення залежить від n змінних, тобто має вигляд: , де - декартів добуток відповідних множин.

Нехай у множині Х подана нечітка підмножина . У загальному випадку функція належності цієї підмножини має вигляд

,

де та – подані функції належності нечітких підмножин відповідних множин та Х. Застосовуючи в цьому випадку принцип узагальнення у формі (4.58) отримуємо такий вираз для функції належності образа нечіткої підмножини :

. (4.59)

П р и к л а д  4.42. Нехай дані множини також на Х подана нечітка підмножина

.

Також подано нечітке відображення з функцією належності , яка подана таблицею

Знайдемо образ множини А при нечіткому відображенні .

Будемо застосовувати визначення 4.36. Тоді для обчислення функції належності множини В використаємо максимінний добуток та .

.

Таким чином .

П р и к л а д  4.43. Розширення області визначення арифметичної операції додавання на клас “нечітких чисел”, тобто на клас нечітких підмножин числової осi.

Операція додавання в множині чисел є відображенням .

Нехай два нечітких числа. Сумою назвемо образ пари при відображенні . Використовуючи формулу (4.59) одержуємо

. (4.60)

Зокрема, якщо та є інтервалами та , то з (4.60) маємо

.

О з н а ч е н н я  4.37. Прообразом А нечіткої множини В в Y при нечіткому відображенні називається об’єднання всіх нечітких множин, образи яких при цьому відображенні належать (є підмножинами) нечіткої підмножини В.

Якщо образ нечіткої множини позначити , тобто

, . (4.43)

Явний вираз для функції належності прообразу подає приведена нижче теорема. Уведемо множини

,

,

,

.

Т е о р е м а  4.6. У введених вище означеннях нечітка множина А (прообраз множини В) описується функцією належності

Легко перевірити, що коли відображення – чітке, тобто при i , для усіх інших пар , де – відображення (звичайне) , то