5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація

Стандартна задача математичного програмування формулюється звичайно як задача максимізації (або мінімізації) заданої функції на даній множині допустимих альтернатив, яка описується системою нерівностей. Наприклад,

i = 1, ... , m,

де Х – задана множина альтернатив, й – задані функції.

При моделюванні у такій формі реальних задач у розпорядженні дослідника часто можуть опинитися лише нечіткі описи функцій f і та параметрів, від яких ці функції залежать, нечітко може бути описана і множина альтернатив Х. Таке нечітке описування ситуації прийняття рішень може, наприклад, відображати неадекватність інформації про цю ситуацію або бути формою наближеного опису, який достатній для розв’язування даної задачі.

Більш того, у деяких випадках точно визначена множина обмежень (допустимих альтернатив) може виявитися лише наближеною до реальної у тому сенсі, що в реальній задачі, яка лежить в основі математичної моделі, альтернативи поза множиною обмежень можуть бути не недопустимими, а лише в тій чи іншій мірі менш бажаними для ОПР, нiж альтернативи цієї множини.

Прикладом такої ситуації може бути задача, де множина допустимих альтернатив являє собою сукупність всіляких способів розподілу ресурсів, які ОПР збирається вкласти в дану операцію. У цьому випадку, мабуть, недоцільно заздалегідь вводити чітку межу множини допустимих альтернатив (розподілів), оскільки може трапитися так, що розподіл ресурсів, який лежить за цією межею дасть ефект, який переважить “меншу” бажаність цього розподілу для ОПР. Таким чином, нечіткий опис може виявитися більш адекватним реальності, ніж в деякому сенсі довільно прийнятий чіткий опис.

Форми нечіткого опису інформації можуть бути різними, звідси й відмінність в математичних постановках відповідних задач нечіткого математичного програмування (НМП). Приведемо деякі з цих постановок.

З а д а ч а  І. “Максимізація” заданої звичайної функції на нечіткій множині альтернатив. Тобто задача виду:

де , .

Опишемо підходи до розв’язування цієї задачі.

1. Зведення до задачі нечітко визначеної цілі.

Для цього вихідна функція цілі нормується за формулою:

,

і отримана функція береться за функцію належності нечіткої множини цілі ОПР. При цьому значення вважаться ступенем досягнення цілі при обиранні альтернативи . Це дозволяє безпосередньо застосувати до розв’язування цієї задачі підхід Белмана-Заде. Раціональним вважається вибір альтернативи, що має максимальну степінь належності нечіткому розв’язку, тобто альтернативи, що реалізує величину

.

2. Зведення до задачі багатокритеріальної оптимізації.

В цьому підході враховується той факт, що потрібно досягти максимального значення функції і максимальної належності рішення множині допустимих альтернатив. Тобто розв’язується багатокритеріальна задача виду:

Такий підхід детальніше буде розглянуто далі.

З а д а ч а  ІІ. Нечіткий варіант стандартної задачі математичного програмування.

Розглянемо таку задачу математичного програмування:

Нечіткий варіант цієї задачі отримуємо, якщо “пом’якшити” обмеження, тобто припустити можливість їх порушення в якійсь мірі. Крім того, замість максимізації функції f(x) можна прагнути досягнення деякого фіксованого значення цієї функції, причому різним відхиленням f(x) від цієї величини приписувати різні степені допустимості (наприклад, чим більше відхилення, тим менше степінь його допустимості). Задачу при цьому ми можемо записати так:

де знак означає нечіткість відповідних нерівностей.

Опишемо один із способів формалізації таких задач.

Нехай задана величина функції цілі f(x), досягнення якої вважається достатнім для виконання мети прийняття рішення, і нехай є (подані ОПР) два граничних рівня а та b такі, що нерівність означає сильне порушення умови й – сильне порушення нерівності . Тоді можна записати множини цілі та обмежень використовуючи функції належності виду:

де : та : – деякі функції, що описують міру виконання відповідних нерівностей з точки зору ОПР і конкретної задачі прийняття рішень.

Таким чином, вихідна задача буде сформульованою як задача досягнення нечітко визначеної цілі, до якої можна застосувати підхід Белмана-Заде, або можна звести її до задачі багатокритеріальної оптимізації виду:

Детальніше методи розв’язування цієї задачі будуть розглянуті у наступному параграфі.

З а д а ч а  ІІІ. Нечітко описана функція, яку необхідно “максимізувати”, тобто подане відображення , де Х – універсальна множина альтернатив, – числова вісь. У цьому випадку функція при кожному фіксованому є нечіткою оцінкою результату обирання альтернативи (нечіткою оцінкою альтернативи ) або нечіткою реакцією системи на управління . Задамо також нечітку множину допустимих альтернатив .

До такої постановки зводиться широкий клас задач нечіткого математичного програмування. Методи раціонального вибору альтернатив у цьому випадку розглянуто у [ ].

З а д а ч а  ІV. Подана звичайна максимізуєма функція та система обмежень вигляду , i = 1, ... , m. Причому параметри в описанні функцій задані нечітко, у формі нечітких множин.

Наприклад, у лінійному випадку функції мають вигляд i = 1, ... , m,

а кожен з параметрів та b описані відповідною нечіткою множиною , .

Розроблено декілька способів розв’язування таких задач.

Одним з них є метод модальних значень. Згідно цього методу, кожен нечіткий параметр замінюється своїм модальним значенням і потім розв’язується отримана скалярна задача. Степінь належності отриманого рішення обчислюється як мінімум серед степенів належності модальних значень параметрів. Однак цей метод можна застосовувати, якщо функції належності параметрів унімодальні, тобто кожна функція досягає свого максимального значення тільки для одного значення параметру. Якщо ж ця вимога не виконується, то питання про те, яке саме із значень параметрів, що мають найвищу степінь належності треба обирати залишається відкритим.

Інший спосіб полягає у зведенні вихідної задачі до задачі І.

Існують також методи, засновані на зведенні вихідної задачі до задачі багатокритеріальної оптимізації.

З а д а ч а  V. Нечітко описані як параметри функцій обмежень задачі так і параметри цільової функції.

Одним з підходів до розв’язування цієї задачі є зведення її до задачі типу ІІІ.