- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
Нехай є задача багатокритеріальної оптимізації:
Розглянемо властивості множини ефективних альтернатив, але формулюватимемо їх не для первинного векторного критерію, а для безрозмірного векторного критерію, що складається з монотонних перетворень окремих функцій, які приводять їх до безрозмірного вигляду і задачі мінімізації. Тобто ми маємо таку задачу:
при цьому все і приведені до безрозмірного виду.
Теорема 3.1. Якщо множина допустимих альтернатив X випукла, а функції цілі увігнуті на допустимій множині Х, то для будь-якої ефективної альтернативи x* існує числовий вектор
,
такий, що лінійний критерій
, (3.2)
досягає мінімуму на Х при х = х*.
Теорема 3.2. Нехай х* – ефективна альтернатива множини функцій цілі , , . Тоді існує вектор c: , , , такий, що критерій
(3.3)
досягає мінімуму на множині допустимих альтернатив X, якщо x = x*.
За компонент ci можна узяти числа , де , .
Теорема 3.3. Якщо х* - ефективна альтернатива множини функцій цілі f, то для будь-якого lI1
або для будь-якого lI2
Згідно приведеним властивостям можна побудувати три способи знаходження ефективних альтернатив.
Розглянемо ці способи.
Перший спосіб (заснований на теоремі 3.1)
Пошук всієї множини Х* зводиться до рішення такої задачі параметричного програмування
(3.4)
(3.5)
де для всіх iI функції Wi(х) є увігнутими безперервними функціями, а область допустимих альтернатив X є випуклою, замкненою множиною.
У тому випадку, коли функції не є увігнутими або множина допустимих альтернатив не випукла, задача (3.4), (3.5) не дозволяє відшукати всієї множини альтернатив.
П р и к л а д 3.6. Нехай область допустимих альтернатив задана обмеженнями вигляду , функції цілі :
x1 min,
х2 max,
Тут множиною ефективних альтернатив є дуга АВ ( див. рис. 3.5). Проте, оскільки область не випукла, в результаті мінімізації критерію F(x) = 1x1 + 2x2 на множині Х при 1, 2 > 0 буде знайдено не більше двох ефективних альтернатив.
Рис. 3.5. Відшукування ефективних альтернатив за теоремою 1(до прикладу 3.6)
Другий спосіб (заснований на теоремі 3.2)
Пошук всієї множини Х* зводиться до рішення такої задачі параметричного програмування:
(3.6)
(3.7)
де Wi(х) – монотонні перетворення функції цілі fi(х).
В даному випадку вимоги увігнутості і безперервності функції цілі і опуклості множини допустимих альтернатив не потрібні, але слід враховувати, що у разі матеріального рішення задачі (3.6), (3.7) не всі знайдені альтернативи можуть бути ефективними.
П р и к л а д 3.7. Нехай множина допустимих альтернатив задана дискретною множиною , із значеннями функцій w1(x), w2(x), приведеними в табл. 3.2. Обидві функції мінімізуються.
Таблиця 3.2
wixj |
w1(x) |
w2(x) |
x1 |
2 |
5 |
x2 |
4 |
3 |
x3 |
4 |
2 |
x4 |
5 |
2 |
x5 |
6 |
1 |
При 1 = 2 = 0,5 мінімум критерію (3.6) досягається на x2, х3, тобто рішення не єдине.
Та, очевидно, що х3 > x2, оскільки х3 має краще значення другої функції, тобто ефективним є лише варіант х3.
В порівнянні з першим способом цей метод є більш загальним (менші вимоги до функції), проте в разі неєдиного рішення задачі (3.6), (3.7) може бути потрібний додатковий аналіз.
Помітимо, що для різних монотонних перетворень Wi при одних і тих самих значеннях параметрів знаходитимуться різні ефективні альтернативи. Проте, якщо перебрати всі значення параметрів i Г+ , отримані множини ефективних альтернатив співпадуть.
П р и к л а д 3.8. Нехай задана множина допустимих альтернатив ( її зображено на рис. 3.6) та функції цілі:
Визначимо множину ефективних альтернатив, використовуючи різні перетворення цільових функцій.
Рис. 3.6. Ілюстрація до прикладу 3.8.
Розглянемо два перетворення:
, та ,
де максимальні і мінімальні значення функцій відповідно.
Знайдемо максимальні і мінімальні значення функцій f1 і f2 на множині обмежень.
досягається в точці (1000,0) , =37500,
досягається в точці (700,0) , =26250,
у точці (1000,0), =50000,
у точці (250, 750) , =31250.
Побудуємо функції цілі відповідно до перетворень w1 і w2.
,
і розглянемо задачі параметричного програмування:
, (3.8)
та
. (3.9)
При 1 = 0,8, 2 = 0,2 мінімум критерію w1 (задача 3.8) досягається в точці С, мінімум критерію w 2 (задача 3.9) – в усіх точках ребра ВС (рис. 3.6).
При 1 = 2/3, 2 = 1/3 мінімум критерію w1 (задача 3.9) всі точки ребра ВС, мінімум критерію w2(задача 3.6) – в точці В (рис. 3.6).
Третій спосіб (заснований на теоремі 3.3)
Множина ефективних альтернатив для функцій цілі f може бути знайдена при розв’язанні такої задачі параметричного програмування відносно параметрів zZM–1:
де ZM – паралелепіпед ,
– означає оптимальні значення функцій цілі, fi(min) – найменше значення функцій цілі, якщо вони максимізовувалися, і fi(max) – найбільші значення функцій цілі, якщо вони мінімізуються.
За основну функцію, що оптимізується, вибирається та функція цілі, оптимум якої досягається тільки в ефективних точках.
Як і в другому випадку не всі альтернативи, що знайдені цим можуть бути ефективними, і потрібний додатковий аналіз.