Завдання до розділу 2
-
Відношення задане за допомогою матриці. Задати його за допомогою а) графа; б) верхніх розрізів; в) нижніх розрізів.
R1=
; R2=
.
-
Задати відношення «менше або дорівнює» на множині цілих чисел від одного до десяти за допомогою матриці.
-
Перевірити властивості даних відношень.
а)
R=
б)
R=
в)
R=
г)
R=
-
Для відношень завдання 4 а-г визначити додаткові, зворотні.
-
Визначити переріз та об’єднання даних відношень.
R1=
R2=
-
Для відношень 4 а-г побудувати відношення строгої переваги, еквівалентності, байдужості.
-
Знайти найбільший, найменший, максимальний і мінімальний елементи поданих відношень 4 а-г (якщо такі існують).
-
Побудувати функцію вибору за даним відношенням переваги.
а)
R=
б)
R=
-
Провести оцінку корисності результатів за даними перевагами. Якщо x1 > x2 > … > x5, і переваги результатів відповідно дорівнюють α1 = 2, α2 = 3, α3 = 2, α4 = 1,5.
-
Побудувати відношення переваги, яке відповідає поданій функції вибору (якщо можливо).
-
Нехай експерт упорядковує п'ять результатів х1, х2, … х5, приписавши їм такі оцінки: u0(x1) = 10; u0(x2) = 5; u0(x3) = 3; u0(x4) = 2; u0(x5) = 1.
Розглянувши можливі варіанти вибору, він висловив такі думки щодо цінності тих або інших комбінацій варіантів:
x1 
x2
+ x3
+ x4
+ x5;
x1
x2
+
x3
+ x4;
x1
x2
+ x3
+ x5;
x1
x2
+ x3;
x2
x3
+ x4
+ x5;
x2
x3
+ x4;
x3
x4
+ x5.
Проведіть оцінку корисності результатів
-
Нехай експерт упорядковує п'ять результатів х1, х2, … х5, приписавши їм такі оцінки: u0(x1) = 8; u0(x2) = 6; u0(x3) = 2; u0(x4) = 1,5; u0(x5) = 1.
Розглянувши можливі варіанти вибору, він висловив такі думки щодо цінності тих або інших комбінацій варіантів:
x1
x2
+ x3
+ x4
+ x5;
x1
x2
+
x3
+
x4;
x1
x2
+ x3
+ x5;
x1
x2
+ x3;
x2
x3
+x4
+ x5;
x2
x3
+x4;
x3
x4
+x5.
Оцініть корисність результатів.
Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
Мета розділу : ознайомлення з методами прийняття рішень при багатьох критеріях. Вивчення методів багатокритеріальної оптимізації та методів прийняття рішень для слабо формалізованих задач.
3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
Як вже було сказано вище, однією зі складностей при прийнятті рішень є наявність великого числа критеріїв, які не завжди погоджені між собою.
Це передбачає побудову відповідних математичних моделей і застосування математичних методів прийнятті рішень при багатьох критеріях.
У даному розділі ми розглядатимемо скінченновимірні багатокритеріальні задачі, тобто такі задачі в яких множина допустимих альтернатив X Em і заданий векторний критерій f (х) = (f1(х), … fM (х)).
Множина X зазвичай виділяється з деякої ширшої множини D за допомогою спеціальних обмежень, які найчастіше подають у вигляді нерівностей, а саме:
,
де gi, i = 1, 2, … k – числові функції, визначені на D, що складають вектор-функцію обмежень.
Залежно від структури множини Х (або D) і властивостей цільових функцій fj (x) (а також gi) для зручності дослідження виділяють різні класи багатокритеріальних задач. Якщо множина Х скінченна, то задача називається скінченною, якщо Х скінченна або ж лічена, то ‒ дискретною, якщо всі компоненти xi є цілими числами – то цілочисельною. Відповідно визначаються булеві, а також лінійні, увігнуті та інші задачі багатокритеріальної оптимізації.
Ми розглядатимемо таку задачу.
Нехай задана множина допустимих альтернатив Х, властивості яких описуються сукупністю функцій цілі f = {fi(x)}, iI, xX, де I = {1, 2, … , M} множина індексів. Вважатимемо, що m перших функцій цілі максимізуються, а інші (М – m) мінімізуються. Позначимо І1 множину індексів для яких функції цілі максимізуються, І1 = {1, 2, … , m}; І2 – множину індексів для яких функції цілі мінімізуються, І2 = {m+1, m+2, … M}. Тоді багатокритеріальна задача може бути записана у вигляді:
(3.1)