4.11. Класифікація нечітких відношень

Усі типи нечітких відношень, залежно від властивостей, які вони мають можна поділити на три класи.

До першого класу включені симетричні відношення, які у більшості характеризують схожість або відмінність між об’єктами множини Х. Такі відношення можна задавати за допомогою зваженого графу з неорієнтованими дугами.

Другий клас утворюють антисиметричні відношення. Ці відношення задають на множині відношення впорядкованості, домінування. Їм відповідають орієнтовні зважені графи з однобічною орієнтацією дуг.

Третій клас містить усі інші відношення.

Відношення кожного класу можуть бути, в свою чергу, поділені на підкласи, залежно від виконання умов рефлексивності або антирефлексивності. Схематично класифікацію нечітких відношень приведено в таблиці 4.1, більш детальну класифікацію можна знайти в [5]. Розглянемо деякі з нечітких відношень.

Нечітким відношенням передпорядку називається бінарне нечітке відношення, що має властивості транзитивності та рефлексивності.

Якщо R – передпорядок, то має місце

Таблиця 4.1

Класифікація нечітких відношень

Передпорядком на множині буде, наприклад відношення виду:

.

Нечіткий напівпорядок – це транзитивне відношення, що не має властивості рефлексивності.

Симетричні, рефлексивні відношення називаються відношеннями схожості. Вони показують міру подібності (“близькості”) двох елементів.

Симетричні, антирефлексивні відношення називають відношеннями відмінності.

Для відношень схожості та відмінності має місце твердження: якщо R – нечітке відношення схожості, то – відношення відмінності.

Серед відношень схожості особливо виділяють відношення подібності.

О з н а ч е н н я  4.32. Відношенням подібності або еквівалентності називається нечітке бінарне відношення, яке є транзитивним, рефлексивним та симетричним.

Очевидно, що це відношення є передпорядком. Наведемо приклади. нечітких відношень подібності:

.

Відношення виду:

також є відношенням подібності для

З а в д а н н я: перевірити транзитивність нечіткого відношення .

П р и к л а д  4.40. Нечітке відношення x R y, де визначено функцією належності

З а в д а н н я. Перевірити, що це відношення є відношенням подібності.

Кожен -рівень нечіткого відношення подібності є звичайним відношенням еквівалентності. Нагадаємо, що кожне відношення еквівалентності задає на множині деяке розбиття. Отже кожний -рівень нечіткого відношення подібності також задає на множині розбиття. Із властивості-рівней нечіткого відношення випливає і вкладеність відповідних розбиттів множини Х. Причому із зменшенням  відбувається укрупнення класів еквівалентності. Таким чином, нечітке відношення еквівалентності подає ієрархічну сукупність розбиттів множини на неперетинні класи еквівалентності.

Нечітке відношення еквівалентності на відміну від звичайного відношення схожості, подає сукупність розбиттів множини Х на класи еквівалентності завдяки тому, що умова транзитивності накладає досить сильні обмеження на значення ступенів належності .

Для нечіткого відношення подібності має місце така теорема.

Т е о р е м а  4.5. Нехай – відношення подібності. Нехай також x, y, z – три елементи множини Е. Покладемо

,

,

.

Тоді або , або , тобто з цих величин а, b, с, у крайньому разі дві рівні між собою, а третя не менша за них.

О з н а ч е н н я  4.33. Нечітке бінарне відношення, що має властивості антирефлексивності та симетричності називається відношенням відмінності.

Приклади відношень відмінності:

1. Відношення на множині задане матрицею:

буде відношенням відмінності.

2. Нечітке відношення задане функцією належності

є відношенням відмінності, воно утворюється з приклада 4.40. заміною .

Відмінність можна вважати відстанню між елементами (якщо додати транзитивність). Різні види транзитивності подають відповідно різні види відстаней.

О з н а ч е н н я  4.34. Нечітким відношенням порядку називається бінарне відношення яке є рефлексивним, транзитивним та антисиметричним.

Відрізняють відношення строгого та нестрогого порядку.

Строгий порядок – це антирефлексивне, антисиметричне, транзитивне відношення.

Нестрогий порядок – рефлексивне, антисиметричне, транзитивне відношення.