- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
О з н а ч е н н я 5.3. Нехай Х подана множина альтернатив. Нечітким відношенням нестрогої переваги (НВП) на Х будемо називати всіляке подане на цій множині відношення що є рефлексивним.
Нечітке відношення переваги будемо описувати функцією належності вигляду , що є рефлексивною, тобто .
Якщо с – нечітке відношення переваги на множині Х, то для будь-якої пари альтернатив значення є мірою виконання переваги «х не гірше у», або . З того, що , випливає або те, що , або те, що х та у не зрівняні між собою з позитивною мірою. Рефлексивність НВП відображає той факт, що будь-яка альтернатива не гірша за саму себе.
Подане на множині Х нечітке відношення переваги однозначно задає три відповідних йому нечітких відношення:
-
однаковості – ,
-
квазіеквівалентності – ,
-
строгої переваги – .
Ці відношення будуть використовуються для визначення та аналізу властивостей альтернатив, що не домінуються у задачах прийняття рішень.
За аналогією зi звичайними відношеннями ці відношення можна визначити таким чином:
,
,
,
де – зворотне до R відношення, що описане функцією належності
.
Використовуємо визначення операції об’єднання, перерізу та різниці нечітких множин отримуємо такі вирази для функцій належності цих відношень.
-
Нечітке відношення байдужості:
.
-
Нечітке відношення квазіеквівалентності
.
-
Нечітке відношення строгої переваги
.
Розглянемо такий приклад.
П р и к л а д 5.4. (Чітке відношення переваги). На множині Х подані n функцій , i = 1, … , n. Визначимо в Х відношення переваги R таким чином: .
Легко бачити, що функція належності відношення R має вигляд
Зауважимо, що при такому відношенні переваги в множині Х можуть бути альтернативи, які не можна порівняти (тобто і існують такі альтернативи х, у, для яких виконується ). Наприклад, альтернативи х, у для яких , та в інших випадках.
За допомогою поданих вище означень одержимо:
Відмітимо, що альтернативи, якi є недомінуємими при поданому відношенні переваги, називаються ефективними або оптимальними за Парето для функцій i = 1, 2, ... , n.
Розглянемо тепер деякі властивості визначених нечітких відношень та .
І. Нечіткі відношення та рефлексивні та симетричні.
Дійсно, тому, що вихідне відношення є рефлексивним. Симетричність цих відношень випливає з їх визначень.
ІІ. – антирефлексивно та антисиметрично.
Дійсно, , оскільки вихідне НВП рефлексивно, тобто , .
Нехай, , тобто , тоді , а це і є антисиметричність цього відношення.
Покажемо тепер, що якщо вихідне відношення НВП на множині Х транзитивне, то нечіткі відношення та також транзитивні.
Т е о р е м а 5.2. Якщо НВП на Х транзитивне, то й відповідне нечітке відношення також транзитивне.
Зауважимо, що з цієї теореми та з розглянутих вище властивостей відношення випливає, що в умовах теореми є нечітким відношенням еквівалентності (рефлексивне, симетричне, транзитивне).
Доведення
Припустимо, що в умовах теореми відношення не є транзитивним. За визначенням транзитивності це означає, що відшукаються такі , для яких
(5.12)
Припустимо тепер, що . Тоді з визначення одержуємо, що . Користуючись цією рівністю, запишемо нерівність (5.12) у вигляді
. (5.13)
Оскільки симетрична, то з (5.13) одержуємо, що
,
тобто ,
та , що суперечить умові транзитивності вихідного відношення: . ( ).
Випадок доводиться аналогічно.
Також має місце
Т е о р е м а 5.3. Якщо нечітке відношення переваги на Х транзитивне, то транзитивне й відповідне нечітке відношення строгої переваги .