5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.

У цьому підході явно з самого початку враховується те, що при обиранні альтернатив ОПР повинна керуватися бажанням отримати можливо більші значення як функції, що максимізується, так і функції належності нечіткої множини припустимих альтернатив.

Для цього в означення розв’язку включають лише ті альтернативи, які в задачах багатокритеріальної оптимізації називаються ефективними за Парето.

Нагадаємо, що альтернатива називається ефективною за двома функціями та , якщо при будь-якій іншій альтернативі з нерівностей й випливають рівності й .

Інакше, якщо – ефективна альтернатива для функцій та на множині Х, то обиранням будь-якої альтернативи не можна збільшити (порівняно з та ) значення однієї функції, не зменшивши при цьому значення іншої.

У задачі прийняття рішень з декількома критеріями множина ефективних альтернатив пропонується ОПР як її можливі раціональні вибори.

Отже, нехай Р – множина всіх ефективних альтернатив для функцій та , що розглядаються у задачі нечіткого математичного програмування.

О з н а ч е н н я  5.3. Розв’язком задачі НМП зветься нечітка множина з функцією належності

(5.9)

У цьому визначенні явно припускається, що ОПР повинна використовувати у своєму розв’язанні лише ті альтернативи універсальної множини Х, які дають одночасно неполіпшувані значення функцій та .

Відповідно розв’язку 2 нечітке значення функції записується у вигляді:

. (5.10)

Має місце така теорема, що встановлює зв'язок між розв’язками обох типів.

Т е о р е м а 5.1[ ]. Якщо множина Х компактна, функція неперервна на Х, а функція напівнеперервна зверху на Х, то при кожному виконується рівність

. (5.11)

Згідно означенню 5.3. знаходження розв’язку 2 зведено до визначення множини ефективних альтернатив для функцій та . Однак, ця множина включає, у загальному випадку, нескінченну кількість елементів, і її побудова являє собою достатньо складну задачу.

Разом з тим, для отримання розв’язку 2 у конкретній задачі практично достатньо, щоб була вказана скінченна кількість ефективних альтернатив, рівномірно обраних із множини Р.

Для відшукування таких альтернатив можна скористатися таким фактом.

Якщо для деяких чисел альтернатива доставляє максимум функції на множині Х, то ця альтернатива є ефективною для функції та .

Таким чином, надаючи різні додатні значення ваговим коефіцієнтам функцій та і максимізуючи відповідні функції F(x) можна визначити будь-яку необхідну кількість ефективних альтернатив.

Отримані при цьому альтернативи разом з відповідними значеннями функцій та надаються ОПР, яка й робить остаточний вибір із них, виходячи із своїх суб’єктивних уявлень (або використовуючи інформацію, яка не врахована у даній математичній моделі) про відповідну важливість значень функції та степені допустимості альтернатив.

5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив

При дослідженні реальної ситуації або процесу з метою прийняття раціонального рішення природно починати з виявлення множини всіх допустимих розв’язків або альтернатив.

Залежно від інформації, яку ми маємо, цю множину вдається описати з тією чи іншою мірою чіткості. Нехай, наприклад, Х – деяка універсальна множина альтернатив і нечіткий опис її підмножини припустимих альтернатив. Значення функції описують міри допустимості відповідних альтернатив у поданій задачі.

Якщо, окрім цієї функції немає іншої інформації про альтернативу, що досліджується, то раціональним залишається прийняти вибір якої-небудь альтернативи з множини

тобто довільної альтернативи, з тих що мають максимальну степінь прийнятності, оскільки нема підстав віддавати перевагу іншим. При введені в модель додаткової інформації раціональним може виявитися вибір альтернатив з будь-якої підмножини множини або будь-яких альтернатив, що не належать множині . Ця інформація може бути і такою, що на її підставі вдасться виявити єдину, найкращу з усіх альтернативу.

Інформація, про реальну ситуацію або процес, завдяки якiй можна віддати перевагу одній альтернативі перед іншою, може бути подана різними способами.

У попередніх розділах ми вже розглянули випадки, коли ця інформація задавалася у формі функцій корисності, описувалась числовими нерівностями але такий спосіб описання реальної ситуації не завжди є можливим. Більш універсальним є спосіб опису інформації у формі відношень переваги на множині альтернатив. Випадок, коли на множині альтернатив подане чітке відношення переваги був розглянутий у розділі 2. Але не завжди переваги можуть бути визначені чітко, тобто іноді більш точною моделлю ситуації буде описування переваг у вигляді нечітких відношень, коли перевага може бути виявлена лише в деякій мірі. Прийняття рішень при таких умовах і буде розглянуто в даному параграфі.