3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування

Нехай задана деяка множина лінійних функцій цілі:

де ,

причому m перших функцій цілі максимізуються, а решта (M – m) – мінімізуються.

На змінні x = {x_j}, j = 1, … , n накладено лінійні обмеження виду:

Ax  b,

x_j  0, j = 1, 2 , … , n.

Застосуємо метод обмежень. згідно цього методу перетворення функцій цілі матимуть вигляд:

де – рішення, що належить множині обмежень і оптимізує i-ю функцію цілі , – рішення, що забезпечують мінімальне (максимальне) значення i‑го критерію відповідно. Компромісним рішенням буде таке, для якого зважені відносні втрати будуть однакові і мінімальні тобто

p₁w₁(x) = … = p_mw_m(x) = k_{0 min} .

Згідно методу обмежень це рішення може бути знайдене з системи нерівностей 3.23, яка у даному випадку набуває виду:

(3.24)

Вирішення системи (3.24) еквівалентне рішенню такої задачі лінійного програмування.

при обмеженнях

де

Висновки

Однією зі складностей при прийнятті рішень є наявність великого числа критеріїв, що не завжди погоджені між собою. Така ситуація може бути описана математичними моделями задачі багатокритеріальної оптимізації.

Рішення задачі багатокритеріальної оптимізації необхідно шукати серед множини ефективних, тобто непокращуваних, альтернатив. ефективні альтернативи або еквівалентні, або непорівнянні між собою, тому для вибору однієї з них необхідно використовувати принципи компромісу.

Критерії можуть мати різну важливість, а їх пріоритети можуть бути задані кількісно, у вигляді вектора пріоритетів , або якісно – відношенням переваги на множині функцій цілі . Залежно від того, як задані пріоритети критеріїв, який обрано принцип компромісу і від вигляду області допустимих альтернатив і функцій цілі використовують різні методи для відшукування множини ефективних альтернатив і відповідні їм методи розв’язування задач багатокритеріальної оптимізації. Серед них можна виділити такі:

Метод головного критерію не потребує нормалізації критеріїв і кількісного задавання їх пріоритетів, але потрібні порогові значення для критеріїв, які не є головними.

Методи згортки потребують нормалізації критеріїв і кількісного задавання їх пріоритетів, крім того вони можуть бути застосовані лише коли функції увігнуті, а множина допустимих альтернатив випукла.

Метод послідовної поступки не потребує нормалізації критеріїв і кількісного задавання їх пріоритетів. Вихідна багатокритеріальна задача замінюється послідовністю скалярних задач. Величина поступки за кожним критерієм визначається ОПР, залежно від величини його оптимуму і сенсу задачі.

Оскільки не всі альтернативи, отримані у результаті рішення задачі багатокритеріальної оптимізації можуть бути ефективними, корисно проаналізувати отримані результати, щоб з'ясувати чи завжди вони приводять до отримання ефективних рішень, і якщо ні, то спеціально передбачити можливість поліпшення рішення, що виділяється, до ефективного.